Przez \(\displaystyle{ \partial_{\bar v}f(\bar x)}\) oznaczam pochodną kierunkową w punkcie \(\displaystyle{ \bar x\in\mathbb{R}}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \bar v\in\mathbb{R}^n}\).
Szybkie pytanie:
Z istnienia pochodnych \(\displaystyle{ \partial_{\bar u}f(\bar x)}\) i \(\displaystyle{ \partial_{\bar v}f(\bar x)}\) wynika istnienie pochodnej \(\displaystyle{ \partial_{\bar u + \bar v}f(\bar x)}\), zakładając, że \(\displaystyle{ f\colon U\to\mathbb{R}}\) przy czym \(\displaystyle{ U\subseteq\mathbb{R}^n}\) jest spójnym zbiorem otwartym, czy tak?
Bo jeśli \(\displaystyle{ x\in U}\) to biorę otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\) i wektor będący sumą \(\displaystyle{ \bar v}\) i \(\displaystyle{ \bar v}\) mogę przeskalować tak, żeby... się "zmieścił" w owym otoczeniu? To by oznaczało, że jeśli istnieją pochodne kierunkowe dla paru liniowo niezależnych wektorów, to dla każdego wektora z przestrzeni rozpiętej na tych wektorach również poch. kierunkowa istnieje.
(Pokazać, że istnienie \(\displaystyle{ \partial_{\bar v}f(\bar x)}\) pociąga istnienie \(\displaystyle{ \partial_{\alpha\bar v}f(\bar x)}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in\mathbb{R}}\) jest łatwo rachunkowo (może to o co pytam w sumie też ))
))