Matematyka.pl

Wyznaczyc rownanie prostej, która jest wspólna styczną wykresów funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)= (x-2)^{2} +4}\). Nie wiem co zrobic po policzeniu pochodnych, jak wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?

Styczna przechodzi przez punkty (x1, f(x1)) i (x2, g(x2)) takie, że f'(x1) = g'(x2). Na moje oko zastosowanie wzoru na prostą przechodzącą przez 2 punkty + zależność pochodnych powinna wystarczyć. Ale to taka luźna myśl.

Proszę o sprawdzenie czy tą wspólną styczną będzie prosta \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ l: y = 2x-1}\)

Pozwoliłem sobie odkopać ten temat, by nie zakładać następnego takiego samego, tym bardziej iż ten jest dość dobrze wypozycjonowany w Google.

Też to męczę i wyszło pierw tak jak Tobie, jednak po sprawdzeniu wszyło, że równanie powinno tak wyglądać:
\(\displaystyle{ l:y=-2x-1}\)



Ktoś wie co robimy źle?
Ja policzyłem pochodne i stworzyłem układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x(x_{1}-x)+x^{2} \\ y=(2x-8)(x_{1}-x)+x^{2}-8x+8 \end{cases}}\)

Porównałem dwie strony i wyszło mi, że
\(\displaystyle{ x_{1} = 1}\)

Oraz, że
\(\displaystyle{ y = 2x_{1}x - x_{1}^{2}}\)

I tu równanie wyszło by dobre, gdyby wcześniej x wyszedł mi -1.

Edit: pomyliłem oznaczenia

Na tym obrazku z WolframAlpha jest funkcja \(\displaystyle{ x^{2}-8x+8}\). Nie powinno być \(\displaystyle{ x^{2}-4x+8}\)?
Bo przecież \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+4=(x^{2}-4x+4)+4=x^{2}-4x+8}\)

Styczna z pierwszą funkcją w punkcie A...\(\displaystyle{ f(x)=x^2,A(a,a^2),f'(a)=2a \Rightarrow styczna: y=2a(x-a)+a^2, czyli: y=2ax-a^2}\)
Styczna z drugą funkcją w punkcie B...\(\displaystyle{ g(x)=(x-2)^2+4=x^2-4x+8, B(b, b^2-4b+8), g'(b)=2b-4, \Rightarrow styczna: y=(2b-4)(x-b)+b^2-4b+8,
}\), \(\displaystyle{ y=2bx-2b^2-4x+4b+b^2-4b+8, }\) \(\displaystyle{ y=(2b-4)x-b^2+8}\)
Styczne te to tak naprawdę jedna prosta więc współczynniki kierunkowe i wyrazy wolne są sobie równe...
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a=2b-4 \Rightarrow a=b-2 \\ -a^2=-b^2+8 \end{cases} }\)
Rozwiązując ten układ otrzymamy a=1 oraz b=3 co daje odpowiedź: \(\displaystyle{ y=2x-1}\)

Tytuł archeologa tygodnia otrzymuje... czujka!

JK

HaHa Dzięki!