Niech \(\displaystyle{ E = B\left( \RR , \RR \right)}\) będzie zbiorem funkcji ograniczonych z normą supremum.
Rozważmy
\(\displaystyle{ F: E \ni f \rightarrow \left| \left| f \right| \right| \in \RR}\)
Sprawdzić różniczkowalność w \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \sin x}\)
Słyszałem, że jest zadanie wynikające bardzo łatwo z jakiegoś twierdzenia. Nie wiem niestety z jakiego..
Proszę o pomoc.
Sprawdzić różniczkowalność funkcji
-
brzoskwinka1
Sprawdzić różniczkowalność funkcji
Niech \(\displaystyle{ \varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) oznacza funkcję stałą równą jeden.
Niech \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R} , h>0,}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0_+ } \frac{F(f+h\varphi )-F(f)}{h} =\lim_{h \to 0_+ }\frac{(1+h)-1}{h} =1 .}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R} , h<0,}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0_- } \frac{F(f+h\varphi )-F(f)}{h} =\lim_{h \to 0_+ }\frac{(1-h)-1}{h} =-1 .}\)
Zatem funkcja \(\displaystyle{ F}\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ f.}\)
Niech \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R} , h>0,}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0_+ } \frac{F(f+h\varphi )-F(f)}{h} =\lim_{h \to 0_+ }\frac{(1+h)-1}{h} =1 .}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ h\in\mathbb{R} , h<0,}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0_- } \frac{F(f+h\varphi )-F(f)}{h} =\lim_{h \to 0_+ }\frac{(1-h)-1}{h} =-1 .}\)
Zatem funkcja \(\displaystyle{ F}\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ f.}\)