Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x,y)= z= \arcctg\left( \frac{y}{x}\right) }\)

\(\displaystyle{ L= \frac{ (\partial)^3f}{ \partial x \partial y \partial x} = \frac{ \partial x^2f}{ \partial x^2} \cdot \frac{ \partial f}{ \partial y} =P }\)

W jakiej kolejności powinnam liczyć te pochodne cząstkowe od strony L ? , bo już się pogubiłam w tym..
Mam rozwiązane tak, ale kompletnie nie rozumiem kolejności tych działań.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^3f}{ \partial y \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial y} ( \frac{-y}{x^2+y^2} )= \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^3f}{ \partial x \partial y \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial x} \frac{(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} }\)

\(\displaystyle{ L= \frac{2x^3-6xy^2}{(x^2+y^2)^3} }\)

Zapis \(\displaystyle{ \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x}}\) oznacza \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} f}\) i pochodne liczy się tak, jak przy składaniu funkcji, czyli od środka na zewnątrz (od prawej do lewej). Tak też policzono w przytoczonym przykładzie.

Choć w tym przypadku kolejność jest bez znaczenia, bo ciąg pochodnych jest palindromem.