Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
Jak w tytule.
Skonstruować funkcję różniczkowalną, której pochodna jest dodatnia poza zerem i nieciągła w zerze.
Skonstruować funkcję różniczkowalną, której pochodna jest dodatnia poza zerem i nieciągła w zerze.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.
Pewnie wszystko rozbija się o niuanse przyjętych definicji.
Czy
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x \ge 0 \end{cases} }\)
jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ? I dlaczego?
Pewnie wszystko rozbija się o niuanse przyjętych definicji.
Czy
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x \ge 0 \end{cases} }\)
jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ? I dlaczego?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
Czemu?Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.
W zerze niejest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
\(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) jest różniczkowalna wszędzie, a jej pochodne jest nieciągła w zerzekerajs pisze: ↑7 kwie 2024, o 08:14 Dla mnie warunki ''funkcja różniczkowalna'' i ''jej pochodna jest nieciągła w zerze'' się wykluczają.
Pewnie wszystko rozbija się o niuanse przyjętych definicji.
Czy
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x \ge 0 \end{cases} }\)
jest ściśle rosnąca , i różniczkowalna ? I dlaczego?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
mamy taki prosty fakcik: dowolna funkcja \(f\colon \mathbb R \to \mathbb R\) spełniająca \(x-x^2 \le f(x) \le x+x^2\) jest różniczkowalna w zerze i \(f'(0)=1\)
w oparciu o to raczej łatwo skonstruować szukaną funkcję: wystarczy zadbać o to, by \(f\) spełniała założenia fakciku, a do tego była rosnąca, różniczkowalna i \(f'\left(\frac 1n\right)=n\) dla \(n\in\mathbb N\)
taką funkcję można zmontować sklejając odpowiednie funkcje na przedziałach postaci \(\left(\frac 1{n+1},\frac 1n\right)\) dla \(n=1,2,3,\ldots\), a wszędzie indziej określić \(f(x)=x\) --- uzupełnienie szczegółów pozostawiam czytelnikowi
w oparciu o to raczej łatwo skonstruować szukaną funkcję: wystarczy zadbać o to, by \(f\) spełniała założenia fakciku, a do tego była rosnąca, różniczkowalna i \(f'\left(\frac 1n\right)=n\) dla \(n\in\mathbb N\)
taką funkcję można zmontować sklejając odpowiednie funkcje na przedziałach postaci \(\left(\frac 1{n+1},\frac 1n\right)\) dla \(n=1,2,3,\ldots\), a wszędzie indziej określić \(f(x)=x\) --- uzupełnienie szczegółów pozostawiam czytelnikowi
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
Bo różniczkowalność w danym punkcie jest równoważna ciągłości pochodnej w tym punkcie.
Cóż, nie wpadłem na to, że w zero z zadania może być poza dziedziną szukanej funkcji. A skoro może, to zadanie staje się trywialne.
Ot, choćby lekko zmodyfikowany poprzedni przykład:
\(\displaystyle{
y=\begin{cases} x \ \ \ , x<0 \\ 2x \ \ \ , x > 0 \end{cases} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Ściśle rosnąca funkcja z nieciągła pochodną
Różniczkowalność funkcji implikuje ciągłośc funkcji, ale nie na odwrót.
Funkcja \(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) dla `x\ne 0`, i `0` dla `x=0` jest różniczkowalna. (myślałem, że na tym poziomie potrafisz sobie dopowiedzieć wartość w zerze)
Funkcja \(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) dla `x\ne 0`, i `0` dla `x=0` jest różniczkowalna. (myślałem, że na tym poziomie potrafisz sobie dopowiedzieć wartość w zerze)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy