witam!
zadanie było w dziale z analizą, więc zamieszczam tutaj
4. Dla jakich \(\displaystyle{ a \in R}\) równanie \(\displaystyle{ x^3-3x-a=0}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?
nie potrafię tego ruszyć
pozdrawiam
równanie z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kartuzy
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 1 raz
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
równanie z parametrem
Aby wielomian trzeciego stopnia miał trzy różne pierwiastki, czyli oś OX przecina w trzech różnych punktach, musi posiadać dwa ekstrema. Maksimum o wartościach dodatnich oraz minimum o wartościach ujemnych - te dwa warunki gwarantują istnieje trzech różnych pierwiastków.
\(\displaystyle{ y=x^3-3x-a \Rightarrow y'=3x^2-3}\)
Liczymy ekstrema: \(\displaystyle{ 3x^2-3=0 \Leftrightarrow x=-1 \vee x=1}\)
Maksimum występuje dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(-1)=(-1)^3-3*(-1)-a=2-a}\)
Minimum występuje dla \(\displaystyle{ x=1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(1)=1^3-3*1-a=-2-a}\)
A więc zgodnie z tym co napisałem na początku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-a>0 \\ -2-a<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a<2 \\ a>-2 \end{cases}}\)
Więc równanie \(\displaystyle{ x^3-3x-a=0}\) ma trzy różne pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ a \in (-2;2)}\).
\(\displaystyle{ y=x^3-3x-a \Rightarrow y'=3x^2-3}\)
Liczymy ekstrema: \(\displaystyle{ 3x^2-3=0 \Leftrightarrow x=-1 \vee x=1}\)
Maksimum występuje dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(-1)=(-1)^3-3*(-1)-a=2-a}\)
Minimum występuje dla \(\displaystyle{ x=1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(1)=1^3-3*1-a=-2-a}\)
A więc zgodnie z tym co napisałem na początku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-a>0 \\ -2-a<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a<2 \\ a>-2 \end{cases}}\)
Więc równanie \(\displaystyle{ x^3-3x-a=0}\) ma trzy różne pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ a \in (-2;2)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kartuzy
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 1 raz
równanie z parametrem
dziękuję, nie wpadłem na to, że musi być spełniony warunek dotyczący różnych znaków ekstremów ;/