Cześć,
mam problem, jak rozwiązać takie równanie?
\(\displaystyle{ \left(x - y\right) dx + \left(x + y\right) dy = 0}\)
poprzez zastosowanie czynnika calkujacego (w tym przypadku jest on
funkcją \(\displaystyle{ u = u(x^2 + y^2)}\)).
równanie z czynnikiem całkującym
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: równanie z czynnikiem całkującym
Z czym dokładnie masz problem?
Metoda czynnika całkującego polega na pomnożeniu równania przez taką funkcję, by stało się zupełne. Równaniem zupełnym zaś nazywa się równanie postaci \(\displaystyle{ P(x, y) \, \dd x + Q(x, y) \, \dd y = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}\). Skoro masz podane, że czynnik całkujący jest postaci \(\displaystyle{ u(x^2+y^2)}\), to tym zupełnym równaniem będzie
\(\displaystyle{ (x-y) \cdot u(x^2+y^2) \, \dd x + (x+y) \cdot u(x^2+y^2) \, \dd y = 0}\).
Szukasz więc takiego \(\displaystyle{ u}\), że
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} \big[ (x-y) \cdot u(x^2+y^2) \big] = \frac{\partial}{\partial x} \big[ (x+y) \cdot u(x^2+y^2) \big]}\).
Metoda czynnika całkującego polega na pomnożeniu równania przez taką funkcję, by stało się zupełne. Równaniem zupełnym zaś nazywa się równanie postaci \(\displaystyle{ P(x, y) \, \dd x + Q(x, y) \, \dd y = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}\). Skoro masz podane, że czynnik całkujący jest postaci \(\displaystyle{ u(x^2+y^2)}\), to tym zupełnym równaniem będzie
\(\displaystyle{ (x-y) \cdot u(x^2+y^2) \, \dd x + (x+y) \cdot u(x^2+y^2) \, \dd y = 0}\).
Szukasz więc takiego \(\displaystyle{ u}\), że
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} \big[ (x-y) \cdot u(x^2+y^2) \big] = \frac{\partial}{\partial x} \big[ (x+y) \cdot u(x^2+y^2) \big]}\).