Matematyka.pl

Witam. Mam takie zadanie:

Znaleźć punkt przegięcia funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+ \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{2}{x^3}}\). Widać, więc, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie wklęsła dla \(\displaystyle{ x <0}\) i wypukła dla \(\displaystyle{ x>0}\). Czy mamy tutaj do czynienia z punktem przegięcia? A jeśli tak to jaki to jest punkt?

No właśnie - masz jakiegoś kandydata na punkt przegięcia?

JK

Cóż.. Nie mam. Niby funkcja "przegina się" w zerze, ale przecież dla określenia punktu potrzebuję dwóch współrzędnych, a nie jestem w stanie określić drugiej współrzędnej dla \(\displaystyle{ x = 0}\).

Nic z tego, ta funkcja wcale nie przegina się w zerze. Żeby funkcja przeginała się w punkcie \(\displaystyle{ x}\), to musi przechodząc przez ten punkt zmieniać swoją wklęsłość (w szczególności musi być w tym punkcie określona). Tymczasem twoja funkcja jest określona tylko "na lewo" i "na prawo" od zera i jest tam odpowiednio wklęsła i wypukła. I tyle.

Analogicznie funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x^2}}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x<0}\) i malejąca dla \(\displaystyle{ x>0}\), ale przecież nie zastanawiasz się, czy ma dla \(\displaystyle{ x=0}\) ekstremum...

JK