Matematyka.pl

Wyznaczyć na krzywej \(\displaystyle{ xy+x^2=1}\) punkt najbliższy punktowi \(\displaystyle{ O(0,0)}\).

W punkcie przecięcia prostej `y=tx` z hiperbolą mamy \(\displaystyle{ x^2=\frac{1}{1+t},\ y^2=t^2x^2=\frac{t^2}{1+t}}\), a kwadrat odległości tego punktu od początku układu jest równy \(\displaystyle{ \frac{1+t^2}{1+t}}\) i jest najmniejszy dla `t=sqrt2-1` (z oczywistych względów rozpatrujemy tylko \(\displaystyle{ t>-1}\)).
To odpowiada punktom \(\displaystyle{ \left(\pm\sqrt[4]2, \pm\frac{\sqrt2-1}{\sqrt[4]2}\right)}\) odległym od początku układu o \(\displaystyle{ \sqrt{2(\sqrt2-1)}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) równanie jest sprzeczne więc krzywa nie przecina osi OX i można ją przedstawić w postaci jawnej: \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x}-x }\). Kwadrat odległości punktu krzywej \(\displaystyle{ ( a, \frac{1}{a}-a )}\) od początku układu to:
\(\displaystyle{ D(a)=a^2+(\frac{1}{a}-a)^2=2a^2-2+\frac{1}{a^2} \ \ \ dla \ \ \ a \neq 0}\)
więc:
\(\displaystyle{ D'(a)=4a-\frac{2}{a^3}=\frac{2}{a^3}( \sqrt[4]{2}a-1)( \sqrt[4]{2}a+1)( \sqrt{2}a^2+1)}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ d_{min}= \sqrt{D( \frac{1}{ \sqrt[4]{2} }) }= \sqrt{D( \frac{-1}{ \sqrt[4]{2} } )}}\)

Dodano po 1 dniu 3 godzinach 32 minutach 42 sekundach:

a4karo pisze: ↑26 maja 2023, o 09:39 To odpowiada punktom \(\displaystyle{ \left(\pm\sqrt[4]2, \pm\frac{\sqrt2-1}{\sqrt[4]2}\right)}\) odległym od początku układu o \(\displaystyle{ \sqrt{2(\sqrt2-1)}}\)

Odległość punktów \(\displaystyle{ \left(\pm\sqrt[4]2, \pm\frac{\sqrt2-1}{\sqrt[4]2}\right)}\) nie wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2(\sqrt2-1)}}\) i jedynie dwa z nich leżą na krzywej.

Pewnie jest jakiś błąd rachunkowy lub błąd przy przepisywaniu, skoro minimalna odległość ma poprawną wartość.