Problem z ekstremum lokalnym
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 5 cze 2014, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Problem z ekstremum lokalnym
Witam, mam następujący problem:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+ x^{ \frac{2}{3} } }}\)
Czy ktoś mógłby wstawić mniej więcej jak to powinno wyglądać rozwiązane, bo nie jestem pewien moich wyników( głównie nie wiem jaka jest prawidłowa dziedzina funkcji? , i czy ma jakieś min i max).
Z góry dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+ x^{ \frac{2}{3} } }}\)
Czy ktoś mógłby wstawić mniej więcej jak to powinno wyglądać rozwiązane, bo nie jestem pewien moich wyników( głównie nie wiem jaka jest prawidłowa dziedzina funkcji? , i czy ma jakieś min i max).
Z góry dziękuję za pomoc.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Problem z ekstremum lokalnym
Dziedzina: 1)mianownik różny od zera
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{x^2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2} \neq -1}\)obustronnie podnoszę do potęgi trzeciej
\(\displaystyle{ x^2=-1}\)
Takie x nie istnieje.
2)Pierwiastek stopnia nieparzystego nie wpływa na dziedzinę.
Ostatecznie \(\displaystyle{ D: x \in \RR}\)
Liczę pochodną
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }}\)
Dziedzina pochodnej
\(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{0\right\}}\)
Odejmuję zero bo musi istnieć mianownik w ułamku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }}\)
Warunek konieczny isnienia ekstremum:
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }=0}\)
Takie x nie istnieje , brak jest ekstremów.
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{x^2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2} \neq -1}\)obustronnie podnoszę do potęgi trzeciej
\(\displaystyle{ x^2=-1}\)
Takie x nie istnieje.
2)Pierwiastek stopnia nieparzystego nie wpływa na dziedzinę.
Ostatecznie \(\displaystyle{ D: x \in \RR}\)
Liczę pochodną
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }}\)
Dziedzina pochodnej
\(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{0\right\}}\)
Odejmuję zero bo musi istnieć mianownik w ułamku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }}\)
Warunek konieczny isnienia ekstremum:
\(\displaystyle{ f ^{'}(x)= 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{3} \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{( 1+ \sqrt[3]{x^2}) ^{2} }=0}\)
Takie x nie istnieje , brak jest ekstremów.
Ostatnio zmieniony 22 cze 2014, o 18:23 przez kerajs, łącznie zmieniany 6 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Problem z ekstremum lokalnym
Nie sądzękerajs pisze:Dziedzina: mianownik różny od zera
\(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{x^2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq -1}\)
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Problem z ekstremum lokalnym
?kerajs pisze:Dziedzina: mianownik różny od zera
...
\(\displaystyle{ x \neq -1}\)
...
\(\displaystyle{ f '(x)= \frac{- \frac13 \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } }{\left( 1+ \sqrt[3]{x^2}\right) ^{2} }}\)
?
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 5 cze 2014, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Problem z ekstremum lokalnym
To mam dwa pytania, jak dziedzina przed różniczkowaniem? wychodzi inna niż po różniczkowaniu to którą wybrać?:P I warunek konieczny do istnienia ekstremum, jeżeli pomnożyć to obustronnie przez to co jest w mianowniku, to dla x=0 jest to prawdziwe czy nie?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Problem z ekstremum lokalnym
Sorry za zamieszanie.
Dziedzina pochodnej nie musi być równa dziedzinie funkcji. Może być od niej mniejsza.
Nie można sobie sztucznie stwarzać ekstremum przez pomnożenie pochodnej (lub wykonywanie innych działań)
Zauważ że dla ujemnych argumentów funkcja jest rosnąca, a dla dodatnich malejąca. W zerze nie ma ekstremum bo funkcja tam nie jest różniczkowalna. Jest ona ciągła, a w zerze krzywa po lewej i prawej stronie zera schodzi się w kształt ,,zęba'.
Dziedzina pochodnej nie musi być równa dziedzinie funkcji. Może być od niej mniejsza.
Nie można sobie sztucznie stwarzać ekstremum przez pomnożenie pochodnej (lub wykonywanie innych działań)
Zauważ że dla ujemnych argumentów funkcja jest rosnąca, a dla dodatnich malejąca. W zerze nie ma ekstremum bo funkcja tam nie jest różniczkowalna. Jest ona ciągła, a w zerze krzywa po lewej i prawej stronie zera schodzi się w kształt ,,zęba'.
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Problem z ekstremum lokalnym
Uważam, że ta funkcja ma ekstremum.kerajs pisze: ↑22 cze 2014, o 18:32 Dziedzina pochodnej nie musi być równa dziedzinie funkcji. Może być od niej mniejsza.
Nie można sobie sztucznie stwarzać ekstremum przez pomnożenie pochodnej (lub wykonywanie innych działań)
Zauważ że dla ujemnych argumentów funkcja jest rosnąca, a dla dodatnich malejąca. W zerze nie ma ekstremum bo funkcja tam nie jest różniczkowalna. Jest ona ciągła, a w zerze krzywa po lewej i prawej stronie zera schodzi się w kształt ,,zęba'.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Problem z ekstremum lokalnym
Brak istnienia pochodnej w jakimś punkcie lub punktach lub niezerowanie się pochodnej nie implikuje braku ekstremów...Takie x nie istnieje , brak jest ekstremów.
Na tym polega zabawa w tym zadaniu, że ekstremum jest tam gdzie nie ma pochodnej...
Funkcja w zerze jest po prostu szpiczasta, więc trudno mówić o stycznej w zerze a więc o pochodnej tym bardziej...
A ciągłość jest zachowana, więc mamy przykład funkcji ciągłej a nieróżniczkowalnej w zerze... z maksimum nawet dość spektakularnym...
(nie tylko lokalnym ale nawet globalnym)...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: Problem z ekstremum lokalnym
Sorry, rzadko bywam i przegapiłem ten temat.
W zamierzchłych czasach, gdy nauczyciele przepychali mnie z klasy do klasy, uczono jakoś tak:
Funkcja ma ekstremum w punkcie x=k gdy:
1) WK: Jest w tym punkcie różniczkowalna i jej pochodna się tam zeruje
2) WW: pochodna w tym punkcie zmienia znak.
Niektórzy gogowie rysowali jeszcze różne wykresiki i na nich pokazywali gdzie ekstrema mogą, a gdzie nie mogą wystąpić. Przykładowo, nie mogły wystąpić na ''zębach''.
Teraz, gdy zgniły karzeł imperializmu całkowicie wyparł jedynie słuszną ideologię, nastąpiło wymieszanie pojęć (w tym, i matematycznych), a stąd i powyższe zamieszanie.
W zamierzchłych czasach, gdy nauczyciele przepychali mnie z klasy do klasy, uczono jakoś tak:
Funkcja ma ekstremum w punkcie x=k gdy:
1) WK: Jest w tym punkcie różniczkowalna i jej pochodna się tam zeruje
2) WW: pochodna w tym punkcie zmienia znak.
Niektórzy gogowie rysowali jeszcze różne wykresiki i na nich pokazywali gdzie ekstrema mogą, a gdzie nie mogą wystąpić. Przykładowo, nie mogły wystąpić na ''zębach''.
Teraz, gdy zgniły karzeł imperializmu całkowicie wyparł jedynie słuszną ideologię, nastąpiło wymieszanie pojęć (w tym, i matematycznych), a stąd i powyższe zamieszanie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Problem z ekstremum lokalnym
No i widzisz ci nauczyciele za wiele nie mieli pojęcia co piszą w ich świecie funkcja np:Przykładowo, nie mogły wystąpić na ''zębach''.
\(\displaystyle{ y=|x|}\)
nie posiada extremum z założenia bo nie posiada i już...
To tak jak z kulą, która nie musi być kulą, a zbiór gęsty nie musi być gęsty w potocznym rozumieniu...