Matematyka.pl

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest taka, że \(\displaystyle{ f'(x) = 0}\) w każdym punkcie \(\displaystyle{ x}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą.

pochodna z definicji jest szybkością przyrostu funkcji, jeżeli przyrost ten wynosi 0, to funkcja jest stała

Ser Cubus, niczego nie dowiodłeś

addmir, to ma być w \(\displaystyle{ \RR^n}\) czy \(\displaystyle{ \RR}\) ?

W \(\displaystyle{ \RR}\) wyglądałoby to na przykład tak:

Wybieramy \(\displaystyle{ x\neq y}\). Z twierdzenia o wartości średniej

\(\displaystyle{ \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\theta)=0,\qquad \theta\in (x,y)}\)

czyli \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\). Z dowolności \(\displaystyle{ x, y}\) mamy tezę.

Edit: usunięta połowa postu

Co to jest \(\displaystyle{ f'(x)}\) dla \(\displaystyle{ f : \RR^n \to \RR}\) ?

Dasio11, może chodzi o gradient? Ale zgadywać nie chcę, dlatego sam zapytałem.

Ma być w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)}\) to pochodna w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\), którą mam zdefiniowaną w ten sposób:

Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x jeśli istnieje odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f'(x): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ \lim_{ h \to 0} \frac{|f(x+h) - f(x) - f'(x)(h)|}{||h||} =0}\). \(\displaystyle{ f'(x)}\) nazywamy pochodną

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) (dla wyższych analogicznie) można to zrobić tak. Ze wzoru Taylora/Lagrange'a o wartości średniej

\(\displaystyle{ f(x,y)=f(0,0)+hf_x(h,k)+kf_y(h,k)}\)

i z założenia \(\displaystyle{ f_x=f_y=0}\) wychodzi natychmiast teza.

P.S. Chyba nie pomieszałem oznaczeń?