Matematyka.pl

Hejka. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego pochodna cząstkowa funkcji\(\displaystyle{ psi=y^Ty-2a^TX^Ty+a^TX^TXa}\) względem a wynosi \(\displaystyle{ -2X^Ty+2X^TXa}\)? Bardzo proszę

Domyślam się, że \(\displaystyle{ X}\) to macierze, \(\displaystyle{ a}\) to wektor, podobnie \(\displaystyle{ y}\). No to różniczkujemy po \(\displaystyle{ a}\) tak "intuicyjnie" (można sprawdzić na spokojnie ilorazy różnicowe, że to jest poprawnie):
\(\displaystyle{ y^T y}\) - tu pochodna to \(\displaystyle{ 0}\), bo to nie zależy od \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ -2a^TX^Ty}\) - tu mamy liniową zależność od \(\displaystyle{ a}\), więc \(\displaystyle{ a}\) po prostu znika (tak jak różniczkowalibyśmy funkcję typu \(\displaystyle{ Ka}\) - wyjdzie \(\displaystyle{ K}\)), zatem mamy \(\displaystyle{ -2X^Ty}\)
\(\displaystyle{ a^TX^TXa}\) - tu mamy zależność "kwadratową" od \(\displaystyle{ a}\) - różniczkujemy - dwójka "spada" na dół i jedno \(\displaystyle{ a}\) znika, czyli \(\displaystyle{ 2X^TXa}\)