Hej mam do wyliczenia pochodną z definicji z funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{x ^{2}+x+1 } }\) i nie jestem w stanie jej obliczyć. Wynik powinien wychodzić \(\displaystyle{ \frac{2x+1}{2 \sqrt{x ^{2}+x+1 } } }\) . Poniżej przedstawiam wyliczenia do których jestem w stanie sam dojść:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{(x+\Delta x)^{2} +x+\Delta x+1}- \sqrt{x ^{2}+x+1 } }{\Delta x}= \frac{ \sqrt{x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1}- \sqrt{x ^{2}+x+1 } }{\Delta x}=\frac{ x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1- x ^{2}-x-1}{\Delta x( \sqrt{x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1}+ \sqrt{x ^{2}+x+1 })} }\)
Następnie u góry wszystko poskracałem, wyciągnąłem delta x przed nawias w liczniku i mianowniku z pierwiastków też i wychodzi mi 1. Nie wiem gdzie robię błąd.
Pochodna z definicji
-
- Moderator
- Posty: 10365
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1271 razy
Re: Pochodna z definicji
Przedstawione obliczenia są poprawne wyciągnięcie spod pierwiastków \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie doprowadziłoby do rozwiązania, ostatnie wyrażenie po uproszczeniach wygląda następująco:
$$\frac{x^2-x^2+x-x+1-1+\Delta x(2x+1+\Delta x)}{\Delta x\left(\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\right)}$$
Skrócenie \(\displaystyle{ \Delta x}\) prowadzi do następującej postaci
$$\frac{2x+1+\Delta x}{\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$$
Granica będzie łatwa do obliczenia, podstawienie \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) doprowadzi do podanego rozwiązania.
$$\frac{x^2-x^2+x-x+1-1+\Delta x(2x+1+\Delta x)}{\Delta x\left(\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\right)}$$
Skrócenie \(\displaystyle{ \Delta x}\) prowadzi do następującej postaci
$$\frac{2x+1+\Delta x}{\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$$
Granica będzie łatwa do obliczenia, podstawienie \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) doprowadzi do podanego rozwiązania.
Re: Pochodna z definicji
A gdzie zniknęło \(\displaystyle{ (\Delta x) ^{2} }\) w liczniku?Chromosom pisze: ↑6 kwie 2020, o 04:25 Przedstawione obliczenia są poprawne wyciągnięcie spod pierwiastków \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie doprowadziłoby do rozwiązania, ostatnie wyrażenie po uproszczeniach wygląda następująco:
$$\frac{x^2-x^2+x-x+1-1+\Delta x(2x+1)}{\Delta x\left(\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\right)}$$
Skrócenie \(\displaystyle{ \Delta x}\) prowadzi do następującej postaci
$$\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$$
Granica będzie łatwa do obliczenia, podstawienie \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) doprowadzi do podanego rozwiązania.