Matematyka.pl

Obliczyć pochodną \(\displaystyle{ \frac{\dd y}{\dd x}}\) dla \(\displaystyle{ t = \frac{\pi}{8}}\)
\(\displaystyle{ x=2-2\sin(2t) \\
y=(\cos t)^2}\)
Mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 1}\) i nie wiem jak do tego się odnieść

Proszę poprawić zapis w \(\displaystyle{ \LaTeX. }\)

\(\displaystyle{ x(t) = 2 - 2\sin(2t),}\)

\(\displaystyle{ x'(t) = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ y(t) = \cos^2(t), }\)

\(\displaystyle{ y'(t) = \ \ ... }\)

No sporo \(\displaystyle{ t}\) jest stałe, to te wszystkie pochodne są zerowe. Mogę się mylić, ale takie jest moje zdanie.

Najpierw liczymy pochodne funkcji względem zmiennej \(\displaystyle{ t. }\)

Potem podstawiamy \(\displaystyle{ t = \frac{\pi}{8} }\) w celu obliczenia ich wartości w tym punkcie.

Niepokonana pisze: ↑11 wrz 2022, o 17:13 No sporo \(\displaystyle{ t}\) jest stałe, to te wszystkie pochodne są zerowe. Mogę się mylić, ale takie jest moje zdanie.

Nie nie, t jest zmienne, to są funkcje parametryczne

janusz47 pisze: ↑11 wrz 2022, o 17:21 Najpierw liczymy pochodne funkcji względem zmiennej \(\displaystyle{ t. }\)

Potem podstawiamy \(\displaystyle{ t = \frac{\pi}{8} }\) w celu obliczenia ich wartości w tym punkcie.

Tak właśnie zrobiłam, wyszło mi 0.5tan(2t)
Podstawiwszy do tego t wyszło mi 0.5, a w odpowiedziach jest 1

janusz47 pisze: ↑11 wrz 2022, o 16:51 \(\displaystyle{ x(t) = 2 - 2\sin(2t),}\)

\(\displaystyle{ x'(t) = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ y(t) = \cos^2(t), }\)

\(\displaystyle{ y'(t) = \ \ ... }\)

Dziękuję, będę się tego trzymać!

Epicykloida 51 pisze: ↑11 wrz 2022, o 16:30 Mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 1}\) i nie wiem jak do tego się odnieść

Ja bym strzelał, że \(\displaystyle{ \frac14}\). Pochodne po \(t\) są równe:
\(\displaystyle{ x'(t)=-4\cos(2t)}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=-\sin(2t)}\)
Epicykloida 51, czy masz inaczej?

Czyż ta krzywa nie jest elipsą o półosiach odpowiednio \(2\) (wzdłuż osi \(x\)) i \(\frac12\) (wzdłuż \(y\))?

Przepraszam bardzo! Musiałam coś pomylić, gdy przepisywałam przykład, bo pierwsze równanie to \(\displaystyle{ 2-\sin(2t)}\) (bez \(\displaystyle{ 2}\) przy sinusie)
Naprawdę przepraszam, można to jakoś poprawic?
Wtedy pochodne są takie same jak u ciebie, tylko przy cosinusie jest \(\displaystyle{ -2}\) a nie \(\displaystyle{ -4}\), tak?

W takim razie masz dobry wynik, a w odpowiedziach jest błąd.

Strzał w pochodne dobry.

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} x'(t) \\ y'(t) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -4\cos(2t) \\ -2\cos(t)\sin(t) = -\sin(2t) \end{matrix} \right] }\)


\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} x'(t) \\ y'(t) \end{matrix} \right]_{t=\frac{\pi}{8}} = \left[ \begin{matrix} -4\cos\left(\frac{\pi}{4} \right) \\ -\sin\left(\frac{\pi}{4} \right ) \end{matrix} \right] = \left [ \begin{matrix} -2\sqrt{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right].}\)

Są to równania parametryczne elipsy o półosiach długości \(\displaystyle{ a = 4, \ \ b =1. }\)