Matematyka.pl

Może ktoś mi wytłumaczyc jak sie oblicza pochodną równania okręgu. Umiem obliczać pochodne innych funkcji ale z równaniem okręgu mam problem:/ . Wytłumaczcie mi jak możecie na przykładzie \(\displaystyle{ (x+2)^{2} + (y+1)^{2} = 20}\).

ten okrąg styka sie z prostą w punkcie P=(2,1) oblicz równanie okręgu .

Po pierwsze okrąg nie jest funkcją, więc pochodnej nie policzysz. No chyba, że sparametryzujesz go i policzysz odpowienide pochodne, ale to się mija z treścią zadania.
Rozumiem, że treść zadania to znajdź równanie stycznej do danego okręgu w punkcie P.
Można to zrobić krótko. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dany punkt P oraz środek naszego okręgu, który ma współrzędne (-2,-1). Po krótkim rachunku wychodzi, że ta prosta jest postaci: y=0,5x. Zauważmy, że prosta, którą wyznaczyliśmy, jest prostopadła do szukanej stycznej w punkcie P. Wystarczy tylko znaleźć równanie tejże prostej y=ax+b prostopadłej do y=0,5x i przechodzącej przez punkt P. Pamiętamy, że iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych równy jest -1. Czyli współczynnik kierunkowy szukanej stycznej yo a=-2. I teraz podstawiając współrzędne punktu P=(2,1) do równania y=-2x+b otrzymamy, że b=5. czyli równanie szukanej stycznej to y=-2x+5.

Morał: rachunek różniczkowy jest w tym przypadku jak najbardziej zbędne

Rozwiązanie dla wielbicieli pochodnych
\(\displaystyle{ (x+2)^{2} + (y+1)^{2} = 20 \\
S(-2,-1) \qquad r=2\sqrt{5} \\
(x+2)^{2} + (y+1)^{2} = 20 \\
(y+1)^2 = 20 - (x+2)^2 \\
|y+1| = \sqrt{20 - (x+2)^2} \\
y+1 = - \sqrt{20 -x^2-4x-4} y+1 = \sqrt{20 -x^2-4x-4} \\
y = -1 - \sqrt{-x^2-4x+16} y = -1 + \sqrt{-x^2-4x+16}}\)
Punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do górnego półokręgu \(\displaystyle{ y = -1 + \sqrt{-x^2-4x+16}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-2x-4}{2\sqrt{-x^2-4x+16}} = \frac{-x-2}{\sqrt{-x^2-4x+16}}}\)

\(\displaystyle{ y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0}\)

\(\displaystyle{ f'(2)=\frac{-2-2}{\sqrt{-2^2-4\cdot 2+16}} = \frac{-4}{\sqrt{4}} = -2}\)
\(\displaystyle{ y=-2(x-2)+1 \\
y=-2x+5}\)

To faktycznie dla wielbicieli

Nie jest to tylko zadanie dla "wielbicieli pochodnych", jak to zostało już tutaj nazwane, bo równania okręgu wcale nie trzeba rozwikłać do policzenia pochodnej. Możesz potraktować równanie okręgu jak funkcję uwikłaną \(\displaystyle{ y(x)}\), wtedy chyba najszybciej zróżniczkować obie strony równania, zatem jeżeli:
\(\displaystyle{ \begin{equation}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,
\end{equation}}\)
to:
\(\displaystyle{ \begin{equation}
2(x-a)+2(y-b)y'=0.
\end{equation}}\)
Uzyskujemy wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{equation}
y'=-\frac{x-a}{y-b}.
\end{equation}}\)
Żeby to miało sens, warunkiem jest tutaj oczywiście, że \(\displaystyle{ P(x,y)}\) należy do okręgu i że \(\displaystyle{ y\ne b}\) (dla takich przypadków wiadomo, co robić bez użycia pochodnej).

Dla \(\displaystyle{ a=-2, y=-1}\) i \(\displaystyle{ P(2,1)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{equation}
y'=-\frac{2+2}{1+1}=-2,
\end{equation}}\)
a więc nasza prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ \begin{equation}
y=-2(x-2)+1.
\end{equation}}\)

Brakuje trochę teorii, bo zwykle "tworzy się" tutaj funkcję \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\) i wtedy pochodna \(\displaystyle{ y'}\) jest równa

\(\displaystyle{ y'=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial x}},}\)

ale sam szkielet myślę, że jest jasny:).
Pozdrawiam

Otrzymujesz tytuł archeologa miesiąca .

JK