Matematyka.pl

Zadanie:
Oblicz pochodna kierunkowa funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[3]{(x^3 + y^3)}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(0,0)}\) w kierunku punktu \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1)}\)

Wszystko jest ok...

Pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=\frac{x^2}{(\sqrt[3]{x^3 + y^3})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}=\frac{y^2}{(\sqrt[3]{x^3 + y^3})^2}}\)

Ale co teraz? Podstawiając punkt P mamy wielki znak bo wychodzi 0/0

OCB? Pomocy! Wrzesień już blisko a ja nie wiem co z tym fantem zrobić

Niech \(\displaystyle{ x_0=(0,0)}\). Liczymy z definicji:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec{a})-f(x_0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt[3]{2t^3}}{t}=\lim_{t\to 0}\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}}\)

Czekaj bo wczoraj wziąłem to na wiarę a dziś po zastanowieniu nie potrafię dojść do takich wniosków jak ty! Skąd ci się wzięło \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(t,t)}{t}}\) nie powinno być \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(-t,-t)}{t}}\)?

I wyniki: \(\displaystyle{ - \sqrt[3]{2}}\) , \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2}}\)?

Ale dlaczego sądzisz, że ma być \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(-t,-t)}{t}}\)?
Rozpiszę to jeszcze raz, krok po kroku:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec{a})-f(x_0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f((0,0)+t(1,1))-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f((0,0)+(t,t))-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,t)-0}{t}}\)

AAA! No fakt! Za dużo tej analizy! Definitywnie! Ale byle do środy!