Pochodna funkcji złożonej

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 8 gru 2013, o 20:01

Jak obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e ^{x}(x ^{2} + 1)}\)? Ta funkcja będzie złożona i trzeba będzie wyodrębnić funkcję zewnętrzną i wewnętrzną, by dalej liczyć? Nie rozumiem tego, nie widzę, która jest zewnętrzna, a która wewnętrzna. \(\displaystyle{ e ^{x}}\) będzie zewnętrzna, a \(\displaystyle{ (x ^{2} + 1)}\) wewnętrzna?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 gru 2013, o 20:03

To jest iloczyn funkcji

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 8 gru 2013, o 20:04

To zwykły iloczyn, no ja nie rozróżniam tego, bo już np. przy \(\displaystyle{ \sin (3x)}\) by była funkcja zewnętrzna i wewnętrzna, no nie? Jak to sprawdzać?

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 8 gru 2013, o 20:09

tu nie ma złożenia funkcji tylko ich iloczyn
złożenie masz np.
\(\displaystyle{ e^{x^2}\\
\\
\frac{1}{x^3 + x}}\)

itd.
generalnie funkcja złożona jest wtedy, jak w miejscu x masz inną funkcję, chociażby \(\displaystyle{ \sin 3x}\) gdzie widzisz, że jest to złożenie bo podstawowa funkcja to \(\displaystyle{ \sin x}\) a ty masz w miejscu x inną funkcję

w przykładzie z 1. postu nie masz tego, masz funkcję \(\displaystyle{ e^x}\) któa jest spoko bo masz w wykłądniku x, gdyby zamiast niego było coś innego to już złożenie, masz też drugą funkcję \(\displaystyle{ x^2+1}\) która też jest funkcją pierwotną, bo masz \(\displaystyle{ x^a}\) gdzie w miejscu x nie masz innej funkcji

matematykapl · Post autor: **matematykapl** » 9 gru 2013, o 14:58

Czyli to będzie \(\displaystyle{ f'(x) = e ^{x}(x ^{2} + 1) + e ^{x}(2x)}\) i koniec zadania, czy coś tutaj pokręciłem?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 gru 2013, o 16:07

Koniec, chyba, że masz bardzo pożądany w matematyce instynkt szopa pracza i posprzątasz po sobie.

Jak rozróżnić, co jest iloczynem a co złożeniem? Proste: popatrz jaką operację wykonujesz na końcu. W przykładzie z zadania najpierw liczysz \(\displaystyle{ e^x}\) i \(\displaystyle{ x^2+1}\) i mnożysz przez siebie - masz zatem do czynienia z mnożeniem funkcji.
W przykładzie \(\displaystyle{ \sin 3x}\) najpierw liczysz \(\displaystyle{ 3x}\) a potem obliczasz sinus tegoż - więc nakładasz sinus na wcześniej obliczoną wartość - złożenie.

Oczywiście, gdy masz do czynienia np. z mnożeniem, to kazdy z czynników może być złożeniem - wróć do przykładu z zadania i odpowiedz na pytanie: złożeniem jakich funkcji jest \(\displaystyle{ x^2+1}\)?