Pochodna funkcji
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Pochodna funkcji
Wyznaczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\ln{(x^{2}+1)}}.}\)
Ostatnio zmieniony 15 gru 2022, o 18:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: Pochodna funkcji
tak, dla \(\displaystyle{ x\neq0}\) mamy \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{\ln{(x^{2}+1)}}} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot 2x }\)
natomiast co w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\)? czy to będzie:
\(\displaystyle{ f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1 }\)
natomiast co w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\)? czy to będzie:
\(\displaystyle{ f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1 }\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Pochodna funkcji
Czerwona równość jest źle bo \(\displaystyle{ h \neq \sqrt{h^2} }\), a przynajmniej nie zawsze. To zapomnienie o znaku wpływa tu na ostateczny wynik, który jest inny.malwinka1058 pisze: ↑15 gru 2022, o 22:03 \(\displaystyle{ f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h} \red{=} \lim_{ h\to 0 } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1 }\)
-
malwinka1058
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: Pochodna funkcji
czyli w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f'_{-}(0)= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 ^{-}} - \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=-\sqrt{\ln{e}}=-1 }\)
\(\displaystyle{ f'_{+}(0)= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0^{+} } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1 }\)
czyli funkcja nie jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\), natomiast dla pozostałych tak jak wyżej - ze złożenia?
\(\displaystyle{ f'_{-}(0)= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 ^{-}} - \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=-\sqrt{\ln{e}}=-1 }\)
\(\displaystyle{ f'_{+}(0)= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0^{+} } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1 }\)
czyli funkcja nie jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\), natomiast dla pozostałych tak jak wyżej - ze złożenia?
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy