Dana jest funkcja optymalizująca:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2+\left(\frac{3x}{x-2}\right)^2 \ \ , \ \ x\in \left(2,+\infty\right)}\)
Szukam jakiegoś sprytnego sposobu na wyznaczenie punktu, w którym ma ona ekstremum (sama postać sugeruje być może nierówność między średnimi, ewentualnie wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia). Licząc klasycznie otrzymujemy wielomian trzeciego stopnia o niewymiennym pierwiastku - \(\displaystyle{ x_0=2+\sqrt[3]{18}}\).
Optymalizacja - punkt krytyczny
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4103
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1408 razy
Re: Optymalizacja - punkt krytyczny
Jeśli się przesunie funkcję \(\displaystyle{ x\mapsto x+2}\) to zapisać można optymalizację funkcji \(\displaystyle{ f(\cdot+2)}\), następująco
Przy czym minimum to jest osiągane dla takiej wartości \(\displaystyle{ x}\) dla której \(\displaystyle{ \red{x^2=18/x}}\) oraz \(\displaystyle{ \blue{x=18/x^2}}\). Szczęśliwie \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18} }\) jednocześnie spełnia te równania. Skoro \(\displaystyle{ f(\cdot+2)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18}}\) to \(\displaystyle{ f(\cdot)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ 2+ \sqrt[3]{18}}\).
\(\displaystyle{
\begin{split}
(x+2)^2+ \frac{9(x+2)^2}{x^2}& = x^2+ \frac{36}{x^2}+ 4x+ \frac{36}{x} +13 \\
&= \red{x^2+ \frac{18}{x} + \frac{18}{x}} + \blue{\frac{18}{x^2} + x +x} + \green{ \frac{18}{x^2} + x +x} +13 \\
&\ge 3 \sqrt[3]{18^2}+ 6 \sqrt[3]{18} +13.
\end{split}
}\)
\begin{split}
(x+2)^2+ \frac{9(x+2)^2}{x^2}& = x^2+ \frac{36}{x^2}+ 4x+ \frac{36}{x} +13 \\
&= \red{x^2+ \frac{18}{x} + \frac{18}{x}} + \blue{\frac{18}{x^2} + x +x} + \green{ \frac{18}{x^2} + x +x} +13 \\
&\ge 3 \sqrt[3]{18^2}+ 6 \sqrt[3]{18} +13.
\end{split}
}\)
Przy czym minimum to jest osiągane dla takiej wartości \(\displaystyle{ x}\) dla której \(\displaystyle{ \red{x^2=18/x}}\) oraz \(\displaystyle{ \blue{x=18/x^2}}\). Szczęśliwie \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18} }\) jednocześnie spełnia te równania. Skoro \(\displaystyle{ f(\cdot+2)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{18}}\) to \(\displaystyle{ f(\cdot)}\) ma minimum w \(\displaystyle{ 2+ \sqrt[3]{18}}\).