Matematyka.pl

W okrąg o promieniu jeden wpisujemy trójkąty równoramienne. Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza odległość od środka okręgu do jego podstawy. Funkcja opisująca pole takich trójkątów jest postaci:

\(\displaystyle{ P(x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}}\)

Jednym z podpunktów do tego zadania jest wyznaczenie dziedziny i moje pytanie brzmi jak podomykany będzie przedział będący dziedziną tak opisanej funkcji?

A jak myślisz?

JK

41421356 pisze: ↑24 kwie 2023, o 21:22 Jednym z podpunktów do tego zadania jest wyznaczenie dziedziny i moje pytanie brzmi jak podomykany będzie przedział będący dziedziną tak opisanej funkcji?

Klasyczny dylemat (choć z perspektywy matematyki sztuczny). Innymi słowy czy odcinki są trójkątami. Imho w tego typu zadaniach o ile się coś da domknąć to warto to zrobić. Dlatego bo funkcja jest ciągła i zamiast liczyć wartości na krańcach granicami liczymy po prostu wartości funkcji. Zdegenerowanie trójkąta, stożka czy innego walca do odcinka nie jest przeciwskazaniem aby nie można było domknąć. Przeciwskazaniem do domknięcia przedziału jest dziedzina naturalna funkcji np.: gdy mamy \(\displaystyle{ 1/x}\) to wiadomo, że nie domkniemy przedziału w \(\displaystyle{ 0}\).

Janusz Tracz pisze: ↑24 kwie 2023, o 21:43 Klasyczny dylemat (choć z perspektywy matematyki sztuczny). Innymi słowy czy odcinki są trójkątami.

Ja bym nie domykał, bo jednak "trójkąt" to trójkąt niezdegenerowany, zwłaszcza w kontekście szkolnym.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑24 kwie 2023, o 21:39 A jak myślisz?

JK

Nie biorę żadnych zdegenerowanych trójkątów pod uwagę. Myślę, że prawidłowa odpowiedź to przedział \(\displaystyle{ \left< 0,1\right)}\). Przecież dla \(\displaystyle{ x}\) równego zero mamy normalny trójkąt, którego wysokością jest promień okręgu.

Z innej beczki:

41421356 pisze: ↑24 kwie 2023, o 21:22 W okrąg o promieniu jeden wpisujemy trójkąty równoramienne. Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza odległość od środka okręgu do jego podstawy. Funkcja opisująca pole takich trójkątów jest postaci:
\(\displaystyle{ P(x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) trójkąt jest prostokątny, a dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) ostrokątny.
Dlaczego nie uwzględniasz trójkątów rozwartokątnych o polu \(\displaystyle{ P'(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<x<1}\) ?

PS
Treść zadania : Niech \(\displaystyle{ x}\) oznacza odległość wymusza nieujemność x. A przecież wygodniej byłoby przyjąć że \(\displaystyle{ -1<x<1}\) , co automatycznie uwzględniałoby i pola trójkątów rozwartokątnych.

Przecież odległość jako wartość może być równa zero. W tym przypadku nie jest to żadna długość boku, więc dlaczego nie możemy przyjąć za \(\displaystyle{ x}\) wartości zero? (Pole takiego trójkąta istnieje i jest równe \(\displaystyle{ P(0)=1}\))

kerajs wydaje mi się, że dziedzina od zera do jedynki również uwzględnia te trójkąty rozwartokątne. To, że podstawa raz jest nad środkiem okręgu, a raz pod nim nie zmienia faktu, że liczymy odległość punktu od prostej, która zawsze będzie nieujemna.

41421356 pisze: ↑25 kwie 2023, o 08:31 Przecież odległość jako wartość może być równa zero. W tym przypadku nie jest to żadna długość boku, więc dlaczego nie możemy przyjąć za \(\displaystyle{ x}\) wartości zero? (Pole takiego trójkąta istnieje i jest równe \(\displaystyle{ P(0)=1}\))

Tak, odległość jako wartość może być równa zero i wtedy masz równoramienny trójkąt prostokątny. Pisałem to w poprzednim poscie.

41421356 pisze: ↑25 kwie 2023, o 08:31 kerajs wydaje mi się, że dziedzina od zera do jedynki również uwzględnia te trójkąty rozwartokątne. To, że podstawa raz jest nad środkiem okręgu, a raz pod nim nie zmienia faktu, że liczymy odległość punktu od prostej, która zawsze będzie nieujemna.

Owszem, podstawa się nie zmienia , lecz wysokość do niej prostopadła już tak. Dla trójkątów ostrokątnych wynosi ona \(\displaystyle{ 1+x}\) , a dla rozwartokątnych \(\displaystyle{ 1-x}\) ( czego nie uwzględnia wzór na pole).

No tak, tutaj się zgodzę, że bez odpowiednich modułów ten wzór liczy pola trójkątów ostrokątnych i jednego prostokątnego. Wracając do sedna, cały mój post odnosi się do ustalenia, czy poprawną dziedziną będzie przedział \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\), czy może przedział \(\displaystyle{ \left< 0,1\right)}\)? W odpowiedziach do tego zadania szanowna komisja z CKE twierdzi, że przedział powinien być obustronnie otwarty, ja uważam, że nie.

Dla `x\ne 0` istnieją dwa trójkąty równoramienne, których podstawy są odległe od środka okręgu o `x` i ich pola są zdecydowanie różne, trudno zatem mówić o funkcji, a tym bardziej o jej dziedzinie.

Dodano po 8 minutach 24 sekundach:

41421356 pisze: ↑25 kwie 2023, o 09:15 No tak, tutaj się zgodzę, że bez odpowiednich modułów ten wzór liczy pola trójkątów ostrokątnych i jednego prostokątnego. Wracając do sedna, cały mój post odnosi się do ustalenia, czy poprawną dziedziną będzie przedział \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\), czy może przedział \(\displaystyle{ \left< 0,1\right)}\)? W odpowiedziach do tego zadania szanowna komisja z CKE twierdzi, że przedział powinien być obustronnie otwarty, ja uważam, że nie.

Czy mógłbyś przytoczyć źródło?

Jest to matura z 2 czerwca 2022 roku (oczywiście poziom rozszerzony).

Edit: No tak, nie doczytałem treści zadania, w której mowa o trójkątach ostrokątnych.

No to na przyszłość powinieneś uważniej czytać/przepisywać treść zadania: w zadaniu 15 z tej matury wyraźnie jest mowa o trójkątach OSTROKĄTNYCH.

JK

Przepraszam za to zamieszanie, niemniej jednak dyskusję uważam dla siebie za uczącą!