Matematyka.pl

Proszę o pomoc ze zrozumieniem powalonego dowodu. Tym razem postaram się pisać czytelniej.

Twierdzenie Schwarza o pochodnych drugiego rzędu. Niech U będzie otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR ^{k}}\), \(\displaystyle{ x^{0} \in U}\).
\(\displaystyle{ f: U \rightarrow \RR}\). Jeżeli pochodne \(\displaystyle{ f''_{x_i x_j}}\) drugiego rzędu istnieją w \(\displaystyle{ U}\) i są ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ x^{0}}\) dla \(\displaystyle{ i,j=1,...,k, i \neq j,}\) to
\(\displaystyle{ (\forall i,j \in \{1,...,k\}, i \neq j)\ f''_{x_i x_j}(x^{0})=f''_{x_j x_i}(x^{0}).}\)

Innymi słowy macierz Hessego będzie symetryczna. Dowód oczywiście długi jak dowolna powieść Sienkiewicza.

Rozważamy tylko przypadek \(\displaystyle{ k=2}\), przypadek ogólny jest analogiczny.
Skoro \(\displaystyle{ U}\) jest równy swojemu wnętrzu i \(\displaystyle{ x^{0}=(x^{0}_{1},x^{0}_{2})}\) się w nim zawiera, więc istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(x^{0},r) \subset U}\). Niech \(\displaystyle{ h_{1},h_{2}\in ( \frac{-r}{2}, \frac{r}{2} )\setminus\{0\}}\). Definiujemy funkcje pomocnicze \(\displaystyle{ \phi,\psi:K(x^{0}, \frac{r}{2}) \rightarrow \RR}\)
\(\displaystyle{ \phi (x_{1},x_{2})=f(x_{1}+h_{1}, x_{2})-f(x_{1},x_{2})}\)
\(\displaystyle{ \psi (x_{1}, x_{2})=f(x_{1},x_{2}+h_{2})-f(x_{1},x_{2})}\)
Sprawdzamy, że są one dobrze określone (wystarczy sprawdzić jedną). Czy dobrze rozumiem, że chodzi tylko o to by te funkcje nie wystawały poza rozważaną kulę?
\(\displaystyle{ \forall (x_{1},x_{2})\in K(x^{0}, \frac{r}{2} )\ ||(x_{1}+h_{1},x_{2})-(x^{0}_{1},x^{0}_{2})|| \le ||(x_{1},x_{2})-(x^{0}_{1},x^{0}_{2})||+||(h_{1},0)||}\)
\(\displaystyle{ < \frac{r}{2} +|h_{1}|<r \Rightarrow (x_{1}+h_{1},x_{2}) \in K(x^{0},r)}\)
Oczywiście pochodne cząstkowe istnieją \(\displaystyle{ \psi''_{xy}\ \psi''_{yx}\ \phi ''_{yx}\ \phi''_ {xy}}\)


No i tutaj dzieją się rzeczy, których nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie odtąd do samego końca.
Rozważmy (1) \(\displaystyle{ W=f(x^{0}_{1}+h_{1}, x^{0}_{2}+h_{2})-f(x^{0}_{1}+h_{1},x^{0}_{2})-f(x^{0}_{1},x^{0}_{2}+h_{2})+f(x^{0}_{1},x^{0}_{2})}\)
Zauważmy, że (2)\(\displaystyle{ W=\phi (x^{0}_{1},x^{0}_{2}+h_{2})-\phi (x^{0}_{1},x^{0}_{2})}\)
Stosując tw Lagrange'a o wartości średniej do funkcji zmiennej \(\displaystyle{ t\in [0, h_{2}]\ t| \rightarrow \phi (x^{0}_{1}, x^{0}_{2}+t)}\)
otrzymujemy istnienie takiej \(\displaystyle{ \theta _{2} \in (0,1)}\), że
\(\displaystyle{ \phi (x^{0}_{1},x^{0}_{2}+h_{2})-\phi (x^{0}_{1},x^{0}_{2}) = \phi '_{x_2}(x^{0}_{1}, x^{0}_{2}+\theta _{2} h_{2}) \cdot h_{2}}\) (3)
Z drugiej strony (4)
\(\displaystyle{ \phi'_{x_2} (x^{0}_{1}, x^{0}_{2} +\theta _{2} h_{2})=f'_{x_2}(x^{0}_{1}+h_{1}, x_{2}^{0} +\theta_{2}h_{2})-f'_{x2}(x^{0}_{1},x^{0}_{2}+\theta_{2}h_{2})}\)
Ponownie stosując tw. Lagrange o wartości średniej do funkcji skalarnej \(\displaystyle{ t| \rightarrow f'_{x_2}(x^{0}_{1}+t,x^{0}_{2}+\theta _{2}h_{2})}\) i przedziału o końcach \(\displaystyle{ 0\ h_{1}}\) dostajemy istnienie takiej funkcji (5)
\(\displaystyle{ f'_{x_2}(x^{0}+h_{1},x^{0}_{2}+\theta _{2}h_{2}) -f'_{x_2}(x^{0}_{1},x^{0}_{2}+\theta _{2} h_{2}) = f''_{x_2x_1}(x^{0}_{1}+\theta _{1}h_{1}, x^{0}_{2}+\theta _{2}h_{2})h_{1}}\)
Zestawiając (3), (4), (5) z (2) mamy (6)
\(\displaystyle{ W= f''_{x_2x_1}(x^{0}_{1}+\theta _{1}h_{1}, x^{0}_{2}+\theta_{2}h_{2})h_{1}h_{2}}\)

Z drugiej strony
\(\displaystyle{ W=\psi (x^{0}_{1}+h_{1},x^{0}_{2})-\psi (x^{0}_{1},x^{0}_{2})}\)
I pokazując analogicznie dostajemy istnienie takich \(\displaystyle{ \theta '_{1},\theta '_{2}\in (0,1)}\), że
(7) \(\displaystyle{ W=f''_{x_1x_2}(x^{0}_{1}+\theta '_{1}h_{1}, x^{0}_{2}+\theta'_{2}h_{2})h_{1}h_{2}}\)
Z faktu, że \(\displaystyle{ h_{1}h_{2} \neq 0}\) i (6) i (7) mamy że

\(\displaystyle{ f'' _{x_1x_2}(x^{0}_{1}+\theta '_{1}h_{1},x^{0}_{2}+\theta '_{2}h_{2}= f''_{x_2x_1} (x^{0}_{1}+\theta_{1}h_{1}, x^{0}_{2}+\theta_{2}h_{2}).}\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ (h_{1},h_{2}) \rightarrow (0,0)}\) i z ciągłości \(\displaystyle{ f''_{x_1x_2}}\) i \(\displaystyle{ f''_{x_2x_1} }\) w \(\displaystyle{ x^{0}}\) mamy
\(\displaystyle{ f''_{x_1x_2}(x^{0}_{1},x^{0}_{2})=f''_{x_2x_1}(x^{0}_{1},x^{0}_{2})}\)
Ostatnie 2-3 linijki rozumiem, ale co się dzieje po zdefiniowaniu funkcji pomocniczych?