Matematyka.pl

Tak jak wcześniej daję powalony długi dowód i proszę o wyjaśnienie.
\(\displaystyle{ D \subset \RR ^{k}, f:D \rightarrow \RR, x^{0}\in \Int D}\). Jeżeli pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ f'_{xi} i=1,...,k}\) istnieją w pewnych otoczeniu \(\displaystyle{ x^{0}}\) i są ciągłe w \(\displaystyle{ x^{0}}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest w \(\displaystyle{ x^{0}}\) różniczkowalna w sposób mocny (Frecheta).

Brzmi miło, ale to ma dwie strony dowodu. \(\displaystyle{ i=1,..,k}\)
Z założenia istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(x^{0},r) \subset D}\) i\(\displaystyle{ f'_{xi}}\) istnieją w tej kuli i są ciągłe.
Definiujemy funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ g:=K(x^{0},r) \rightarrow \RR}\),\(\displaystyle{ g(x)=f(x)- \sum_{i=1}^{k} f'_{xi}(x^{0})x_{i}}\)
Z założeń wynika, że w tej kuli istnieją \(\displaystyle{ g'_{xi}}\) oraz są ciągłe.
\(\displaystyle{ g'(x_{i})(x)=f'_{x1}(x)-f'(x^{0})}\)<-skąd to się wzięło???
W szczególności dla \(\displaystyle{ x=x^{0}}\) \(\displaystyle{ g'_{xi}(x^{0})=0}\)(1)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall h\in K(0_{\RR k}, r)}\) \(\displaystyle{ g(x^{0}+h)-g(x^{0})=f(x^{0}+h)- \sum_{i=1}^{k}f'_{xi}(x^{0})(x^{0}+h)_{i} -f(x^{0}) +\sum_{i=1}^{k} f'_{xi}(x^{0})x^{0}_{i}}\)
\(\displaystyle{ =f(x^{0}+h)-f(x^{0})- \sum_{i=1}^{k}f'_{xi}(x^{0})h_{i} }\)(2)
Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\). Z ciągłości \(\displaystyle{ g'_{xi}(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x^{0}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ \forall i=1,..,k \exists \delta _{i}>0 \forall x\in K(x^{0}, \delta _{i})\|g'_{xi}(x)|=|g'_{xi}(x)-g'_{xi}(x^{0})|< \frac{\epsilon }{ \sqrt{k} } }\)
Z równoważności wszystkich norm w \(\displaystyle{ \RR ^{k}}\) wynika istnienie takiego otwartego przedziału \(\displaystyle{ P \subset \RR ^{k}}\), że
\(\displaystyle{ x^{0}\in P \subset \bigcap_{i=1}^{k} K(x^{0},\delta _i) }\)
W jakim sensie te normy są równoważne...?
Zatem stosując tw. o związku ograniczonych pochodnych cząstkowych z ciągłością do funkcji \(\displaystyle{ g}\) na przedziale \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \forall x,x' \in P |g(x)-g(x')|\le \frac{\epsilon }{ \sqrt{k} } \sqrt{k} ||x-x'||}\)(4)
Ponownie korzystając z faktu, że wszystkie normy w \(\displaystyle{ \RR ^{k}}\) są równoważne dostajemy istnienie takiej \(\displaystyle{ \delta >0}\), że \(\displaystyle{ K(x^{0}, \delta) \subset P}\). Zatem z (4) dostajemy, że\(\displaystyle{ x^{0}, x^{0}+h \in K(x^{0}, \delta )}\)dla \(\displaystyle{ h\in K(0_{\RR k}, \delta )
}\)
\(\displaystyle{ \forall 0<||h||<\delta }\)\(\displaystyle{ |g(x^{0}+h)-g(x^{0})|\le \epsilon ||h||}\)
Wobec (2) dostajemy
\(\displaystyle{ \forall 0<||h||<\delta}\) \(\displaystyle{ |f(x^{0}+h)-f(x^{0})- \sum_{i=1}^{k} f'_{xi}(x^{0})h_{i}|=|g(x^{0}+h)-g(x^{0})| < \epsilon ||h||}\)
Co oznacza, że \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x^{0}}\) w sposób mocny (Frecheta).
Dlaczego ostatnia linijka oznacza różniczkowalnośc mocną? Gdzie jest forma liniowa pochodnej mocnej?