Matematyka.pl

tak jak wcześniej proszę o pomoc ze zrozumieniem dowodu, bo ja to muszę rozumieć nie tylko zapamiętać kolejność znaczków. Poza tym znaczków jest za dużo by je zapamiętać bez zrozumienia.

\(\displaystyle{ D \subset R^{k}, x^{0} \in \Int D, f:D \rightarrow \RR}\). Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w sensie mocnym (Frecheta) w punkcie \(\displaystyle{ x^{0}}\), to zachodzą:
a) \(\displaystyle{ f}\) ma w tym punkcie dokładnie jedną pochodną mocną
b) dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ h \in \RR ^{k}}\) istnieje pochodna kierunkowa \(\displaystyle{ f'_{h}(x^{0})}\) oraz \(\displaystyle{ f'_{h}(x^{0})=f'(x^{0})(h)}\)
c)istnieją pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ f'_{xi}(x^{0})}\), \(\displaystyle{ i=1,...,k}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x^{0})(h)=\nabla f(x^{0})(h)= \sum_{i=1}^{k} f'_{xi}(x^{0})(h_{i})}\), gdzie \(\displaystyle{ h=[h_{1},...,h_{k}]^{T} \in \RR^{k}}\).
Ok, to okropieństwo będzie długie.


b) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x^{0}\in \Int D}\), to istnieje \(\displaystyle{ \phi : {h \in \RR ^{k} : x^{0}+h \in D} \rightarrow \RR}\) \(\displaystyle{ f(x^{0}+h)-f(x^{0})=A(h)+\phi (h)}\)
\(\displaystyle{ A(h)=f'(x^{0}),\ \lim_{ h \to 0_{\RR ^{k}} } \frac{\phi (h)}{||h||}=0 }\) Przypomnijmy, że z def. pochodna kierunkowa po wektorze zerowym wynosi zero. (1)
Niech \(\displaystyle{ h\in \RR ^{k} \{0_{\RR ^{k}}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x^{0}\in \Int D}\) istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ K(x^{0}, r) \subset D}\). Wówczas \(\displaystyle{ x^{0}+th \in D}\) dla \(\displaystyle{ |t|< \frac{r}{||h||}}\), bo \(\displaystyle{ ||x^{0}+th-x^{0}h||=|t|||h||<r}\).
\(\displaystyle{ f'_{h}(x^{0})= \lim_{ t\to 0} \frac{f(x^{0}+t)-f(x^{0})}{t} =(1) \lim_{ t\to 0} \frac{A(th)+\phi (th)}{t}}\) = (A liniowe) \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} ( \frac{tA(h)}{t} + \frac{\phi (th)}{t} )= \lim_{ t\to 0} (A(h)+ \frac{\phi (th) \cdot ||h||}{t||h||} )= \lim_{ t\to 0} (A(h)+ \frac{\phi (th) \cdot sgn(t)||h||}{||th||} = \lim_{ \to } A(h)+0=A(h)=f'(x^{0})(h)}\)
Rozumiem przekształcenia, ale skąd się to wzięło i co tak właściwie udowodniłam? Czym jest \(\displaystyle{ f'(x^{0})(h)}\)?

c) Skoro istnieją pochodne kierunkowe dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ h\in\RR ^{k}}\), to w szczególności istnieją pochodne kierunkowe po wersorach \(\displaystyle{ e^{i}=(0,..,0,1,0,...,0)}\).
Niech \(\displaystyle{ h\in \RR ^{k}}\),\(\displaystyle{ h=[h_{1},...,h_{k}]^{T}= \sum_{i=1}^{k} h_{i}e^{i}}\)
\(\displaystyle{ f'(x^{0})(h)=f'(x^{0})(\sum_{i=1}^{k} h_{i}e^{i}) = }\)(liniowość) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} h_{i}f'(x^{0})(e^{i})= \sum_{i=1}^{k} h_{i}f'_{h}(x^{0})}\)
\(\displaystyle{ \nabla f(x^{0})=[f'_{x1}(x^{0}),...,f'_{xk}(x^{0})]}\)

a) Jednoznaczność pochodnej \(\displaystyle{ f'(x_{0})}\) wynika z jednoznaczności \(\displaystyle{ f'_{h}(x^{0})}\) i zależności \(\displaystyle{ f'(x^{0})(h)=\nabla f(x^{0})h}\).
Także nie rozumiem głównie b)

Niepokonana pisze: ↑8 wrz 2023, o 00:10to istnieje \(\displaystyle{ \phi : {h \in \RR ^{k} : x^{0}+h \in D} \rightarrow \RR}\) \(\displaystyle{ f(x^{0}+h)-f(x^{0})=A(h)+\phi (h)}\)
(...)
Niech \(\displaystyle{ h\in \RR ^{k} \{0_{\RR ^{k}}}\).

Zdajesz sobie sprawę, jak nieczytelne są takie zapisy?

JK

Zdaję sobie sprawę, że tam powinno być \(\displaystyle{ \{0_{\RR^k}\}}\), ale zgubiłam nawiasy i backslasha. Ale w ogólności to moja pani doktor dała takie oznaczenia tylko ona lepiej to wyspacjowała, więcej przecinków i tego typu bajerów.
Jeżeli to kwestia upychania w jedną linijkę wszystkiego to przepraszam. A jeżeli kwestia tego, że jeden punkt to \(\displaystyle{ x'}\) a drugi \(\displaystyle{ x''}\), to już nie moja wina.

Niepokonana pisze: ↑8 wrz 2023, o 02:32 Zdaję sobie sprawę, że tam powinno być \(\displaystyle{ \{0_{\RR^k}\}}\), ale zgubiłam nawiasy i backslasha.

Minus mnogościowy to \(\displaystyle{ \setminus}\) \setminus , a jak będziesz gubić nawiasy, to będzie się wykrzaczać. Brak spacji powoduje, ze napisy są nieczytelne - dlaczego oczekujesz, że ktoś będzie przebijał się przez nieczytelny zapis? Zamiast spacji lepiej jest wstawić jakieś słowo, żeby dwa wzory były oddzielone - najbardziej uniwersalne jest "mamy".

Przed wysłaniem takiego dłuższego maila daj "Podgląd" i popoprawiaj takie bugi.

JK

A widzisz tego o setminus to nawet nie wiedziałam. No teraz to bym edytowała. Ale tak czy siak proszę wytłumacz.