Matematyka.pl

hej proszę o pomoc to samo co wcześniej

\(\displaystyle{ D \subset \RR^{k}, x^{0}\in \Int D \neq \emptyset, f:D\rightarrow \RR}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ x^{0}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x^{0}}\) jest punktem stacjonarnym \(\displaystyle{ f}\). Wtedy
a) \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x^{0}}\) osiąga ścisłe minimum lokalne, gdy \(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) jest dodatnio określona;
b) ścisłe maksimum, gdy \(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) jest ujemnie określona;
c) nie osiąga w ogóle ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ x^{0}}\), jeżeli \(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) jest nieokreślona.

dowód: udowadniamy tylko a i c, bo b jest analogiczne do a. Z góry ostrzegam, że można dostać ataku od tego czegoś. dobry boże, półtorej strony znaczków.
a) Z założenia wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) w kuli \(\displaystyle{ K(x^{0},r).}\) Z dodatniej określoności \(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) i tw. Sylvestera mamy, że minory główne \(\displaystyle{ \Delta _{i} (x^{0})>0, i=1,...,k.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta_{i}(x^{0})}\) wyzn? (nie rozczytam tego) przez \(\displaystyle{ f''x_{i}x_{j}(x^{0}),}\) więc
\(\displaystyle{ \forall i=1,..,k K(x^{0},r) \rightarrow x | \rightarrow \Delta _{i}(x)}\) jest ciągłe <-co znaczą te znaczki? W sensie że bierzemy jakieś \(\displaystyle{ x}\) z kuli, którą rozważamy?
a tym samym \(\displaystyle{ \exists 0<r_{1}<r [\forall i=1,...,k\ x\in K(x^{0},r_{1}) \Delta_{i}(x)>0 \Leftrightarrow Hf(x^{0}}\)) jest dodatnio określona w tej kuli]
Innymi słowy zauważamy, że jeżeli w \(\displaystyle{ \Delta _{i}(x^{0})>0}\) to w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ x_{0}}\) ten minor też musi być dodatni? O to w tym chodzi?
Z tw Taylora dla funkcji wielu zmiennych mamy że
\(\displaystyle{ \forall h\in K(0_{\RR ^{k}}, r_{1}) h \neq 0_{\RR ^{k}} \exists \Theta \in (0,1) f(x^{0}+h)=f(x^{0})+\nabla f(x^{0})h+ \frac{1}{2} h^{T}Hf(x_{0}+\Theta h)h=f(x^{0})+ \frac{1}{2} h^{T}Hf(x^{0}+\Theta h)h>f(x^{0})}\)
co wynika z tego, że w tej kuli \(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) i gradient jest zerowy. Więc \(\displaystyle{ f(x^{0}+h)>f(x^{0})}\) Bierzemy \(\displaystyle{ h=x-x^{0}}\) i ostatecznie w kuli o promieniu \(\displaystyle{ r_{1}}\) \(\displaystyle{ x^{0}}\) jest wartością najmniejszą, czyli f osiąga tam ścisłe ekstremum minimum.


c) poprzednio było przyjemnie, ale teraz nie. DOBRZE JUŻ BYŁO.
\(\displaystyle{ Hf(x^{0})}\) jest nieokreślona, więc istnieją takie niezerowe wektory \(\displaystyle{ y}\),\(\displaystyle{ w}\), że \(\displaystyle{ y^{T}Hf(x^{0})y>0}\) i \(\displaystyle{ w^{T}Hf(x^{0})w<0}\) (1)
Ponieważ f\(\displaystyle{ }\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) w pewnej kuli \(\displaystyle{ K(x^{0},r)}\), dla pewnego \(\displaystyle{ r>0}\), więc istnieje takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że funkcje pomocnicze \(\displaystyle{ Y(t)=f(x^{0}+ty)}\) i W(t)=f(x^{0}+tw) są dobrze określone \(\displaystyle{ |t|<\delta}\) i są klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) dla takich \(\displaystyle{ t}\). \(\displaystyle{ Y(0)=W(0)=f(x^{0})}\). Czyli co? f jest wielu zmiennych, ale \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ W}\) są tylko jednej zmiennej?! Wszędzie potem \(\displaystyle{ |t|<\delta}\)
Korzystając z tw o pochodnej złożonej mamy że (tu proszę o wyjaśnienie jak te wyniki wyszły)
\(\displaystyle{ Y'(t)=\nabla f(x^{0}+ty)y, Y''(t)=y^{T}Hf(x^{0}+ty)y, W'(t)=\nabla f(x^{0}+tw)w, W''(t)=w^{T}Hf(x^{0}+tw)w}\)

Potem \(\displaystyle{ Y'(0)=0, Y''(0)>0, W'(0)=0, W''(0)<0}\) i z poprzednich podpunktów \(\displaystyle{ Y}\) ma w \(\displaystyle{ 0}\) ścisłe minimum lokalne, a \(\displaystyle{ W}\) ścisłe maksimum.
\(\displaystyle{ \exists \delta _{1} \forall |t|<\delta_{1} Y(t)>Y(0) \wedge W(t)<W(0)}\)
\(\displaystyle{ f(x^{0}+ty)>f(x^{0}) \wedge f(x^{0}+tw)<f(x^{0})}\)
Więc\(\displaystyle{ \forall \epsilon >0 \exists y_{\epsilon },w_{\epsilon } \in K(x^{0},\epsilon) f(w_{\epsilon })<f(x^{0})<f(y_{\epsilon })}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \neg [(\exists \epsilon> 0 \forall x \in K(x^{0}, \epsilon ) f(x) \ge f(x^{0})) \vee \exists \epsilon> 0 \forall x \in K(x^{0}, \epsilon ) f(x) \le f(x^{0})}\)
Zatem f nie osiąga ekstremum lokalnego w \(\displaystyle{ x^{0}}\). I pytanie czy ta ostatnia równoważność jest potrzebna, czy moja pani doktor szanowna dała to po to by dowód był linijkę dłuższy. Czyli główną ideą tego dowodu jest to, że są takie wektory, w którą stronę funkcja maleje i takie w którą stronę funkcja rośnie i oba są bardzo blisko rozważanego punktu. Dobrze myślę?