Matematyka.pl

Przed ostatnie, jeszcze tylko tw. Greena. Proszę o pomoc w zrozumieniu tego czegoś i oczywiście pilnowanie by to było poprawne. Chcemy udowodnić warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ \RR^{2} \rightarrow \RR}\).


Niech \(\displaystyle{ U \subset \RR^{2}}\) otwarty, \(\displaystyle{ F:U \rightarrow \RR}\) będzie klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) na \(\displaystyle{ U}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ (x^{0},y^{0})\in U}\) oraz
\(\displaystyle{ F(x^{0},y^{0})=0}\),\(\displaystyle{ F'_{y}(x^{0},y^{0}) \neq 0}\), \(\displaystyle{ F'_{x}(x^{0},y^{0})=0}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ F''_{xx}\neq 0}\) to istnieją \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) oraz \(\displaystyle{ f:(x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon ) \rightarrow \RR}\) klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) funkcja uwikłana zmiennej \(\displaystyle{ x}\) uwikłana równaniem \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ (x^{0},y^{0})}\), która osiąga ekstremum lokalne w \(\displaystyle{ x^{0}}\). Przy czym jest to maksimum lokalne gdy \(\displaystyle{ \frac{F''_{xx}(x^{0},y^{0})}{F'_{y}(x^{0},y^{0})} >0 }\), a minimum lokalne gdy \(\displaystyle{ \frac{F''_{xx}(x^{0},y^{0})}{F'_{y}(x^{0},y^{0})} <0}\).

Zarysujmy sytuację, powiedzcie czy dobrze myślę. Mamy sobie równanie \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\) i nie możemy rozdzielić iksów od igreków, więc uznajemy, że \(\displaystyle{ y=f(x)}\) i mamy funkcję jednej zmiennej i szukamy jej ekstremum, to może się uda naszkicować wykres. O to chodzi? Jeżeli tak to udowadniamy.

Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\), \(\displaystyle{ F(x^{0},y^{0})=0}\) i \(\displaystyle{ F'_{y}(x^{0},y^{0})\neq 0}\) to spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu funkcji uwikłanej, więc istnieje \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) i\(\displaystyle{ f: (x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon) \rightarrow \RR}\) funkcja uwikłana równaniem \(\displaystyle{ F(x,y)=0}\) zmiennej \(\displaystyle{ x}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ (x^{0},y^{0})}\). Na razie ok. Stwierdziliśmy, że mamy funkcję, której chcemy liczyć ekstremum.

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \forall (x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon)}\) \(\displaystyle{ F(x,f(x))=0}\). Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) to możemy różniczkować używając tw o funkcji złożonej \(\displaystyle{ \forall (x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon)}\) \(\displaystyle{ F'_{x}(x,f(x))+f'(x)F'_{y}(x,f(x))=0 }\) (1) no ok to ma sens.
Wybieramy tak małe \(\displaystyle{ \epsilon}\), żeby \(\displaystyle{ \forall x\in (x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon) F'_{y}(x,f(x))\neq 0}\), bo jeżeli \(\displaystyle{ F'_{y}(x^{0},y^{0})}\) to w pewnym otoczeniu tego punktu ta nierówność nadal zachodzi. Ok to ma sens.
Więc \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-F'_{x}(x,f(x))}{F'_{y}(x,f(x))}}\) . Skoro \(\displaystyle{ F}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) to (1) można jeszcze raz zróżniczkować.
\(\displaystyle{ \forall x (x^{0}-\epsilon , x^{0}+\epsilon)}\)
\(\displaystyle{ F''_{xx}(x,f(x))+F''_{xy}(x,f(x))f'(x)+F''_{yx}(x,f(x))f'(x)+F''_{yy}(x,f(x))(f'(x))^{2}+F'_{y}(x,f(x))f''(x)=0}\) (2) dlaczego tam gdzieś pojawia się kwadrat??
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f'(x^{0})= \frac{-F'_{x}(x^{0},y^{0})}{F_{y}(x^{0},y^{0})}=0}\), czyli \(\displaystyle{ (x^{0})}\) jest punktem stacjonarnym \(\displaystyle{ f}\). Czyli jest kandydatem na ekstremum. I teraz używamy analizy funkcji jednej zmiennej i podstawiamy \(\displaystyle{ x=x^{0}}\).
Z (2) po paru przekształceniach mamy że
\(\displaystyle{ f'(x^{0})=- \frac{F''_{xx}(x^{0},f(x^{0})}{F'_{y}(x^{0},f(x^{0})} }\)
Czyli teraz po prostu interpretujemy ten wynik używając chociażby twierdzenia z macierzami Hessego, które wcześniej udowodniłam i koniec dowodu. Dobrze?