Matematyka.pl

proszę o wyjaśnienie dowodu, bo nie wiem, o co w tym chodzi.

Związek ograniczonych pochodnych cząstkowych z ciągłością. Niech \(\displaystyle{ k \ge 2 \in \NN}\) ,\(\displaystyle{ P \subseteq \RR^{k}}\) przedział otwarty, \(\displaystyle{ f : P \rightarrow \RR}\). Pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ f'_{x1}....f'_{xn}}\) istnieją na tym przedziale i są wspólnie ograniczone przez stałą \(\displaystyle{ M}\) co do wartości bezwzględnej.
Wtedy \(\displaystyle{ \forall x', x''\in P}\), \(\displaystyle{ |f(x')-f(x'')| \le M\sqrt{k}||x'-x''||}\)
I czy jest prostszy dowód od tego, który przedstawię o takich samych założeniach? O co w tym chodzi?

Rozważmy na początek \(\displaystyle{ k=2}\). Wtedy \(\displaystyle{ P=P_{1}\times P_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}}\) są otwartymi przedziałami w \(\displaystyle{ \RR}\). Niech \(\displaystyle{ x'=(x'_{1},x''_{2}), x''=(x''_{1},x''_{2})}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(x')-f(x'')=f(x'_{1},x'_{2}) \textcolor[rgb]{0.5, 0.25, 0.75}{- f(x'_{1},x''_{2})+f(x'_{1},x''_{2})}-f(x''_{1},x''_{2})}\) (1) No i to na kolorowo jest ważne ale skąd się bierze to nie wiem.
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(t)=f(x_{1},t),t\in P_{2}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f'_{x2}}\) istnieje w \(\displaystyle{ P_{2}}\), to \(\displaystyle{ g}\) jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ P_{2}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x'_{2} \neq x''_{2} }\)to stosując tw Lagrange'a o wartości średniej do funkcji g i przedziału domkniętego o końcach \(\displaystyle{ x'_{2}, x''_{2}}\) otrzymujemy istnienie takiego \(\displaystyle{ c}\) należące do tego przedziału o końcach \(\displaystyle{ x'_{2}, x''_{2}}\), że
\(\displaystyle{ |(f(x'_{1},x'_{2})-f(x'_{1}, x''_{2})|=|g(x'_{2})-g(x''_{2})|=|g'(c)||x'_{2}-x''_{2}|=|f'_{x2}(x'_{1},c)|x'_{2}-x''_{2}| \le M|x'_{2}-x''_{2}|}\) (2)
Analogicznie pokazujemy \(\displaystyle{ |f(x'_{1},x''_{2})-f(x''_{1},x''_{2})| \le M |x'_{1}-x''_{1}|}\) (3)
Z (1), (2), (3) mamy
\(\displaystyle{ |f(x')-f(x'')| \le M(|x'_{1}-x''_{1}|+|x'_{2}-x''_{2}|}\)
Analogicznie pokazujemy, że dla \(\displaystyle{ k>2}\) mamy po prostu sumę \(\displaystyle{ |f(x')-f(x'')|<M( \sum_{i=1}^{k} |x'_{i}-x''_{i}|}\) (4)

Stosujemy nierówność Schwarza
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{k}1 \cdot |x'_{i}-x''_{i} )^{2}\le ( \sum_{i=1}^{k} 1^{2})( \sum_{i=1}^{k} |x'_{i}-x''_{i}|^{2})=k||x'-x''||^{2}}\) tego nie rozumiem w sensie dlaczego wynik iloczynu sum jest taki a nie inny.
i stąd\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}|x'-x''|\le \sqrt{k} ||x'-x''|| }\)(5)
z 4 i 5 otrzymujemy tezę.
No i nie rozumiem początku i na końcu tych sum. Autorem dowodu jest moja szanowna pani doktor i ona wymyśliła te oznaczenia.