Przy zalozeniu \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\)
wykazac, ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\geq 1 }\)
Pierwsza moja mysl: wykazac, ze funkcja-lewa strona nierownosci ma na danej kuli minimum rowne 1. Rachuny koszmarne i nic nie dadza, widac na oko. Potem sprawdzilam, czy przypadkiem kazdy ze skladnikow nie jest wiekszy lub rowny jednej trzeciej. Pudlo. Dopelnienia do kwadratu tez do niczego nie doprowadzily.
Moze ktos mily wpadnie na jakis pomysl, ktorym zechcialby sie potem podzielic?
Nierownosc z 3 zmiennymi
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
Lemacik. Gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\) to
Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\), kolejna to trzy fakty
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{x^2+yz+3} \times \sqrt{y^2+xz+3} \times \sqrt{z^2+xy+3} } \le 3.}\)
Dowód. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ (x^2+yz+3) (y^2+xz+3) (z^2+xy+3) } \le \frac{x^2+yz+3 + y^2+xz+3 + z^2+xy+3}{3} \le \frac{9+9+9}{3}.}\)
Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\), kolejna to trzy fakty
- \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)
- \(\displaystyle{ xy+xz+yz\le x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)
- \(\displaystyle{ 3+3+3\le 9.}\)
\(\displaystyle{
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+& \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}} + \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}} \\[2ex]
&= \frac{\sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&\ge 3 \frac{ \sqrt[3]{ (x^2+yz+3) (y^2+xz+3) (z^2+xy+3) } }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&= \frac{3}{\sqrt[3]{ \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} } } \\[2ex]
&\ge \frac{3}{3} =1.
\end{split}
}\)
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+& \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}} + \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}} \\[2ex]
&= \frac{\sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{z^2+xy+3} + \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&\ge 3 \frac{ \sqrt[3]{ (x^2+yz+3) (y^2+xz+3) (z^2+xy+3) } }{\sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3}}\\[2ex]
&= \frac{3}{\sqrt[3]{ \sqrt{x^2+yz+3} \sqrt{y^2+xz+3} \sqrt{z^2+xy+3} } } \\[2ex]
&\ge \frac{3}{3} =1.
\end{split}
}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
Można również w ten sposób:
z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}}{3}\ge \frac{3}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\),
tudzież
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\ge \frac{9}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\).
Wystarczy zatem wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\), to
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}\le 9}\).
To jednak nie nastręcza specjalnych trudności: na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową (pierwsze przejście) i prostej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ ab\le \frac{a^2+b^2}{2}}\) (drugie przejście) jest:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}{3}\le \sqrt{\frac{x^2+yz+3+y^2+zx+3+z^2+xy+3}{3}}\\\le \sqrt{\frac{x^2+\frac{y^2+z^2}{2}+3+y^2+\frac{z^2+x^2}{2}+3+z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+3}{3}}=\sqrt{3+\frac 2 3(x^2+y^2+z^2)}.}\)
Pozostaje skorzystać z warunków zadania, które zapewniają nam \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\).
z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}}{3}\ge \frac{3}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\),
tudzież
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\ge \frac{9}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\).
Wystarczy zatem wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\), to
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}\le 9}\).
To jednak nie nastręcza specjalnych trudności: na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową (pierwsze przejście) i prostej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ ab\le \frac{a^2+b^2}{2}}\) (drugie przejście) jest:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}{3}\le \sqrt{\frac{x^2+yz+3+y^2+zx+3+z^2+xy+3}{3}}\\\le \sqrt{\frac{x^2+\frac{y^2+z^2}{2}+3+y^2+\frac{z^2+x^2}{2}+3+z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+3}{3}}=\sqrt{3+\frac 2 3(x^2+y^2+z^2)}.}\)
Pozostaje skorzystać z warunków zadania, które zapewniają nam \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\).
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Nierownosc z 3 zmiennymi
Lajki lajkami, a odzielnie podziekowac obydwu milym panom, tez mozna, mam nadzieje, co tez i czynie.
@Janusz Tracz, starczylo mi sily woli, zeby tylko zapoznac sie z lemacikiem, a potem dokonczyc samodzielnie
@Janusz Tracz, starczylo mi sily woli, zeby tylko zapoznac sie z lemacikiem, a potem dokonczyc samodzielnie