Matematyka.pl

Przy zalozeniu \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\)
wykazac, ze

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{y^2+xz+3}}+ \frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\geq 1 }\)

Pierwsza moja mysl: wykazac, ze funkcja-lewa strona nierownosci ma na danej kuli minimum rowne 1. Rachuny koszmarne i nic nie dadza, widac na oko. Potem sprawdzilam, czy przypadkiem kazdy ze skladnikow nie jest wiekszy lub rowny jednej trzeciej. Pudlo. Dopelnienia do kwadratu tez do niczego nie doprowadzily.
Moze ktos mily wpadnie na jakis pomysl, ktorym zechcialby sie potem podzielic?

Lemacik. Gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9}\) to Dowód.

Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\), kolejna to trzy fakty

• \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)

• \(\displaystyle{ xy+xz+yz\le x^2+y^2+z^2\leq 9,}\)

• \(\displaystyle{ 3+3+3\le 9.}\)

Zatem, znów z \(\displaystyle{ \sf{AM-GM}}\) oraz lematu

Można również w ten sposób:
z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}}{3}\ge \frac{3}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\),
tudzież
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+yz+3}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+zx+3}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+xy+3}}\ge \frac{9}{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}}\).

Wystarczy zatem wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\), to
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}\le 9}\).

To jednak nie nastręcza specjalnych trudności: na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową (pierwsze przejście) i prostej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ ab\le \frac{a^2+b^2}{2}}\) (drugie przejście) jest:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+yz+3}+\sqrt{y^2+zx+3}+\sqrt{z^2+xy+3}}{3}\le \sqrt{\frac{x^2+yz+3+y^2+zx+3+z^2+xy+3}{3}}\\\le \sqrt{\frac{x^2+\frac{y^2+z^2}{2}+3+y^2+\frac{z^2+x^2}{2}+3+z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+3}{3}}=\sqrt{3+\frac 2 3(x^2+y^2+z^2)}.}\)
Pozostaje skorzystać z warunków zadania, które zapewniają nam \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le 9}\).

Lajki lajkami, a odzielnie podziekowac obydwu milym panom, tez mozna, mam nadzieje, co tez i czynie.

@Janusz Tracz, starczylo mi sily woli, zeby tylko zapoznac sie z lemacikiem, a potem dokonczyc samodzielnie