Matematyka.pl

Podróżnik przemieszcza się pomiędzy początkiem układu współrzędnych, a punktem \(\displaystyle{ \left(10, 10\right)}\). Droga między tymi punktami przechodzi przez dwa różne tereny: gęsty las oraz plażę. Granica pomiędzy tym lasem, a plażą wyznacza prosta \(\displaystyle{ x=5}\). Prędkość podróżnika w lesie oraz na plaży to odpowiednio pół jednostki na sekundę oraz jedna jednostka na sekundę. W jakim najkrótszym czasie podróżnik przebędzie zamierzoną drogę?

Jakieś wskazówki jak to w ogóle zacząć?

Podróżny zmienia teren w punkcie \(\displaystyle{ (5,a)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in[0,10]}\). Napisz funkcję opisującą czas przejścia \(\displaystyle{ t(a)}\) w zależności od wyboru \(\displaystyle{ a}\) i wyznacz jej minimum.

JK

Ale w jaki sposób mam wyznaczyć tą funkcję \(\displaystyle{ t(a)}\)?

Pomyśl.

Czas jest sumą czasu przejścia przez las i przez plażę. A w szkole uczą, że prędkość to droga przez czas. Prędkość znasz, drogę policzysz, to i czas wyznaczysz.

JK

Jak mam policzyć drogę jak nie wiadomo nawet po jakiej krzywej idę?

No jak nie wiesz?

Wiesz gdzie zaczynasz i gdzie kończysz, a po drodze dochodzisz do punktu \(\displaystyle{ (5,a)}\) na granicy kultur. W każdym ze środowisk wybierasz najkrótszą drogę.

JK

Ok, wyszła mi funkcja:

\(\displaystyle{ f(a)=2\sqrt{25+a^2}+\sqrt{25+(10-a)^2}}\)

I przyrównując pochodną do zera otrzymuję takie równanie:

\(\displaystyle{ 3a^4-60a^3+375a^2+500a-2500=0}\)

I tutaj się zatrzymałem

Wzory na równanie czwartego sotpnia...

No właśnie co do ich konieczności użycia w tym zadaniu mam wątpliwości. To jest zadanie z analizy, a nie z algebry.

Chcesz powiedzieć, że gdyby wyszedł trójmian kwadratowy, to by było OK, a jak wyszedł wielomian 4 stopnia, to się zrobiło zadanie z algebry???

To równanie nie ma "porządnych" rozwiązań. Chodziło raczej o to, że ma ono zilustrować prawo załamania. Wróć do policzenia pochodnej, narysuj sobie obrazek i sprawdź czemu odpowiadają liczniki i mianowniki. To będą funkcje trygonometryczne pewnych kątów, pomnożone przez współczynniki odpowiadające prędkościom w różnych środowiskach

a4karo pisze: ↑13 wrz 2023, o 09:40 Chcesz powiedzieć, że gdyby wyszedł trójmian kwadratowy, to by było OK, a jak wyszedł wielomian 4 stopnia, to się zrobiło zadanie z algebry???

Nie chodzi o stopień wielomianu, a o elementarność jego rozłożenia na czynniki. Ja jeszcze nigdy nie spotkałem się z takim zadaniem z analizy, gdzie podstawowe rachunki z algebry nie wystarczają.

a4karo pisze: ↑13 wrz 2023, o 09:40 ... narysuj sobie obrazek...

A w jaki sposób mam sobie ten obrazek narysować?

Papier w kratkę się przyda

Czy dobrze rozumiem, że chcesz abym narysował tą funkcję bez badania jej przebiegu zmienności? Serio?

Nie funkcję, tylko rysunek do zadania. Zacznij od narysowania kwadratu o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (10,10).}\)

JK

A potem narysuj drogę