Mamy w zasięgu cztery cienkościenne prostokątne blaszki o wymiarach \(\displaystyle{ 25 \times 4;\ 12,5\times 8;\ 6,25 \times 16}\) oraz \(\displaystyle{ 10 \times 10}\). Z której blaszki uzyskamy pojemnik prostokątny (bez wieczka) o największej pojemności ? (mimo równych powierzchni tych blaszek \(\displaystyle{ = 100}\))
Jak to analitycznie obliczyć przy zastosowaniu pochodnych ?
Proszę o pomoc .
T.W.
Naczynia prostokątne
-
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 2 razy
Naczynia prostokątne
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2022, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Naczynia prostokątne
Niech \(\displaystyle{ a\geq b >0 }\) będą liczbami rzeczywistymi. \(\displaystyle{ P }\) niech oznacza prostokąt, którego jeden bok ma długość \(\displaystyle{ a, }\) a drugi \(\displaystyle{ b. }\) Z prostokąta \(\displaystyle{ P }\) wycinamy cztery kwadraty o boku \(\displaystyle{ x\in \left (0, \frac{b}{2}\right) }\) zawierające cztery wierzchołki \(\displaystyle{ P }\), że pole \(\displaystyle{ P }\) zmniejsza się o \(\displaystyle{ 4x^2.}\) Zaginamy "wycięte" części. by powstało pudełko o wymiarach \(\displaystyle{ a -2x, \ \ b-2x, \ \ x. }\)
Dla jakiego \(\displaystyle{ x }\) pojemność otrzymanego pojemnika (pudełka) będzie największa ? (*)
Niech \(\displaystyle{ V(x) = x(a-2x)(b-2x) \ \ (1) }\)
będzie pojemnością pudełka, \(\displaystyle{ V }\) jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w każdym punkcie dziedziny. Z punktu widzenia pojemności pudełka - dziedziną funkcji jest przedział \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2} \right). }\)
Można tę funkcję rozpatrywać na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{b}{2}\right] }\), na którym jest ciągła i przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą.
\(\displaystyle{ V(0) = V\left(\frac{b}{2}\right) = 0 }\) i \(\displaystyle{ V(x) >0 }\) dla \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2}\right) }\) więc najmniejsza wartość jest przyjmowana w końcach tego przedziału - największa w pewnym jego punkcie wewnętrznym \(\displaystyle{ x_{0}.}\)
Z różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ V }\) wynika, że \(\displaystyle{ V'(x_{0}) = 0. }\)
Znajdujemy pochodną funkcji \(\displaystyle{ V }\)
\(\displaystyle{ V'(x) = (a-2x)(b-2x) + x(-2)(b-2x) + x(a-2x)(-2) = ab -2ax -2bx +4x^2 -2bx +4x^2 -2ax +4x^2 = 12x^2 -(a+b)x +ab \ \ (2) }\)
Wielomian \(\displaystyle{ (2) }\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni w \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) drugi też jest dodatni, bo iloczyn pierwiastków \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{ab}{12} >0 }\)
Przeprowadzając to samo rozumowanie do przedziału \(\displaystyle{ \left[\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\) stwierdzamy, że wewnątrz tego przedziału
funkcja\(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wartości ujemne na jego końcach zero.
W związku z tym swą najmniejszą wartość funkcja \(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left [\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\)
W każdym z przedziałów \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2}\right), \ \ \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \ \ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek.
Tak jest, gdy \(\displaystyle{ a> b. }\) W przypadku, gdy \(\displaystyle{ a = b, \ \ V'(x) = 12x^2 - 8bx + b^2 }\) i \(\displaystyle{ V' \left(\frac{b}{2}\right) = 12\left(\frac{b}{2}\right)^2 - 8b\left(\frac{b}{2}\right) + b^2 = 3b^2 - 4b^2 +b^2 = 0.}\)
Ogólnie, jeśli liczba \(\displaystyle{ x_{1} }\) jest podwójnym pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f, }\) tzn. \(\displaystyle{ f(x) = (x- x_{1})^2 \cdot g (x) }\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g }\) różniczkowalnej w \(\displaystyle{ x_{1} }\) to \(\displaystyle{ f(x_{1}) = 0 = f'(x_{1}). }\)
Wobec tego i w tym przypadku w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) może mieć co najwyżej jeden
pierwiastek, więc ma dokładnie jeden.
Udowodniliśmy, że w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0} ,}\) którym jest mniejszy z dwóch pierwiastków tej funkcji.
Liczba \(\displaystyle{ V(x_{0}) }\) jest największą wartością funkcji przyjmowaną na przedziale \(\displaystyle{ \left ( 0, \frac{b}{2}\right) }\)
Obliczamy z równania \(\displaystyle{ (2) }\) wartość tego pierwiastka
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{2\cdot 12} \left [ 4(a+b) - \sqrt{[4(a+b)]^2 - 48ab} \right] = \frac{1}{6}\left[ (a+b) - \sqrt{a^2+b^2-ab}\right] \ \ (3) }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 25 \ \ cm, \ \ b = 4 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[ (25 + 4) - \sqrt{25^2 + 4^2 - 25\cdot 4} \right] \approx 0,9928 \approx 1 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(1) = 1(25 -2\cdot 1)(4 -2\cdot 1) = 23\cdot 2 = 46 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(12,5 + 8) - \sqrt{12,5^2 + 8^2 - 12,5\cdot 8} \right] \approx 5,2443 \approx 5 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(5) = 5(12,5 -2\cdot 5)(8 -2\cdot 5) = - 25 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 16 \ \ cm, \ \ b = 6,25 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(16,00 + 6,25) - \sqrt{16^2 + 6,25^2 - 16\cdot 6,25} \right] \approx 1,3806 \approx 1,4 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(1,4) = 1,4(16 -2\cdot 1,4)(6,25 -2\cdot 1,4) = 63,756 \ \ cm^3 \approx 64 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 10 \ \ cm, b = 10 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(10 + 10) - \sqrt{10^2 + 10^2 - 10\cdot 10} \right] \approx 1.67 \ \ cm \approx 2 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(2) = 2(10 -2\cdot 2)(10 -2\cdot 2) = 2\cdot 6 \cdot 6 = 72 \ \ cm^3 }\)
Największą objętość ma pudełko wycięte z blaszki kwadratowej o wymiarach \(\displaystyle{ 10 \ \ cm \times 10 \ \ cm. }\)
Czy ten wynik można było przewidzieć ? Można.
(*) Zadanie rozwiązano na podstawie podobnego zadania Pana dr Michała Krycha.
Dla jakiego \(\displaystyle{ x }\) pojemność otrzymanego pojemnika (pudełka) będzie największa ? (*)
Niech \(\displaystyle{ V(x) = x(a-2x)(b-2x) \ \ (1) }\)
będzie pojemnością pudełka, \(\displaystyle{ V }\) jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w każdym punkcie dziedziny. Z punktu widzenia pojemności pudełka - dziedziną funkcji jest przedział \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2} \right). }\)
Można tę funkcję rozpatrywać na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{b}{2}\right] }\), na którym jest ciągła i przyjmuje wartość najmniejszą oraz wartość największą.
\(\displaystyle{ V(0) = V\left(\frac{b}{2}\right) = 0 }\) i \(\displaystyle{ V(x) >0 }\) dla \(\displaystyle{ x\in \left(0, \frac{b}{2}\right) }\) więc najmniejsza wartość jest przyjmowana w końcach tego przedziału - największa w pewnym jego punkcie wewnętrznym \(\displaystyle{ x_{0}.}\)
Z różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ V }\) wynika, że \(\displaystyle{ V'(x_{0}) = 0. }\)
Znajdujemy pochodną funkcji \(\displaystyle{ V }\)
\(\displaystyle{ V'(x) = (a-2x)(b-2x) + x(-2)(b-2x) + x(a-2x)(-2) = ab -2ax -2bx +4x^2 -2bx +4x^2 -2ax +4x^2 = 12x^2 -(a+b)x +ab \ \ (2) }\)
Wielomian \(\displaystyle{ (2) }\) ma co najmniej jeden pierwiastek dodatni w \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) drugi też jest dodatni, bo iloczyn pierwiastków \(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{ab}{12} >0 }\)
Przeprowadzając to samo rozumowanie do przedziału \(\displaystyle{ \left[\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\) stwierdzamy, że wewnątrz tego przedziału
funkcja\(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wartości ujemne na jego końcach zero.
W związku z tym swą najmniejszą wartość funkcja \(\displaystyle{ V }\) przyjmuje wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left [\frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right] }\)
W każdym z przedziałów \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2}\right), \ \ \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \ \ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek.
Tak jest, gdy \(\displaystyle{ a> b. }\) W przypadku, gdy \(\displaystyle{ a = b, \ \ V'(x) = 12x^2 - 8bx + b^2 }\) i \(\displaystyle{ V' \left(\frac{b}{2}\right) = 12\left(\frac{b}{2}\right)^2 - 8b\left(\frac{b}{2}\right) + b^2 = 3b^2 - 4b^2 +b^2 = 0.}\)
Ogólnie, jeśli liczba \(\displaystyle{ x_{1} }\) jest podwójnym pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f, }\) tzn. \(\displaystyle{ f(x) = (x- x_{1})^2 \cdot g (x) }\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g }\) różniczkowalnej w \(\displaystyle{ x_{1} }\) to \(\displaystyle{ f(x_{1}) = 0 = f'(x_{1}). }\)
Wobec tego i w tym przypadku w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) może mieć co najwyżej jeden
pierwiastek, więc ma dokładnie jeden.
Udowodniliśmy, że w przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \frac{b}{2} \right) }\) funkcja \(\displaystyle{ V'(x) }\) ma dokładnie jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0} ,}\) którym jest mniejszy z dwóch pierwiastków tej funkcji.
Liczba \(\displaystyle{ V(x_{0}) }\) jest największą wartością funkcji przyjmowaną na przedziale \(\displaystyle{ \left ( 0, \frac{b}{2}\right) }\)
Obliczamy z równania \(\displaystyle{ (2) }\) wartość tego pierwiastka
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{2\cdot 12} \left [ 4(a+b) - \sqrt{[4(a+b)]^2 - 48ab} \right] = \frac{1}{6}\left[ (a+b) - \sqrt{a^2+b^2-ab}\right] \ \ (3) }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 25 \ \ cm, \ \ b = 4 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[ (25 + 4) - \sqrt{25^2 + 4^2 - 25\cdot 4} \right] \approx 0,9928 \approx 1 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(1) = 1(25 -2\cdot 1)(4 -2\cdot 1) = 23\cdot 2 = 46 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(12,5 + 8) - \sqrt{12,5^2 + 8^2 - 12,5\cdot 8} \right] \approx 5,2443 \approx 5 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(5) = 5(12,5 -2\cdot 5)(8 -2\cdot 5) = - 25 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 16 \ \ cm, \ \ b = 6,25 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(16,00 + 6,25) - \sqrt{16^2 + 6,25^2 - 16\cdot 6,25} \right] \approx 1,3806 \approx 1,4 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(1,4) = 1,4(16 -2\cdot 1,4)(6,25 -2\cdot 1,4) = 63,756 \ \ cm^3 \approx 64 \ \ cm^3 }\)
Blaszka \(\displaystyle{ a = 10 \ \ cm, b = 10 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6}\left[(10 + 10) - \sqrt{10^2 + 10^2 - 10\cdot 10} \right] \approx 1.67 \ \ cm \approx 2 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ V(2) = 2(10 -2\cdot 2)(10 -2\cdot 2) = 2\cdot 6 \cdot 6 = 72 \ \ cm^3 }\)
Największą objętość ma pudełko wycięte z blaszki kwadratowej o wymiarach \(\displaystyle{ 10 \ \ cm \times 10 \ \ cm. }\)
Czy ten wynik można było przewidzieć ? Można.
(*) Zadanie rozwiązano na podstawie podobnego zadania Pana dr Michała Krycha.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Naczynia prostokątne
Poprawa
Dla blaszki \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6} \left[ (12,5 + 8 )- \sqrt{12,5^2 +8^2 -12,5\cdot 8}\right] \approx 1,5890 \ \ cm \approx 1,6 \ \ cm.}\)
\(\displaystyle{ V(1,6) = 1,6\cdot (12,5 -2\cdot 1,6)(8 - 2\cdot 1,6) = 71,424 \ \ cm^3 \approx 71,5 \ \ cm^3.}\)
Dla blaszki \(\displaystyle{ a = 12,5 \ \ cm, \ \ b = 8 \ \ cm }\)
\(\displaystyle{ x_{0} = \frac{1}{6} \left[ (12,5 + 8 )- \sqrt{12,5^2 +8^2 -12,5\cdot 8}\right] \approx 1,5890 \ \ cm \approx 1,6 \ \ cm.}\)
\(\displaystyle{ V(1,6) = 1,6\cdot (12,5 -2\cdot 1,6)(8 - 2\cdot 1,6) = 71,424 \ \ cm^3 \approx 71,5 \ \ cm^3.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Naczynia prostokątne
Serdecznie dziękuję za to dydaktyczne podejscie w zrozumieniu
problematyki tego typu zadań optymalizacyjnch .
z poważaniem T.W.
problematyki tego typu zadań optymalizacyjnch .
z poważaniem T.W.
-
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 57 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Naczynia prostokątne
Do: Post autor: janusz47
Zadanie odwrotne ;
Z jakiej blachy kwadratowej cienkościennej w tej optymalizacji wykonamy pudełko o wysokosci \(\displaystyle{ X = 10}\)
Ze wzoru nr 3 możemy wnioskować ze wymiar \(\displaystyle{ X}\) stanowi 1/6 boku, a stąd \(\displaystyle{ a = 60, a \times a = 60 \times 60}\) .
Wskaznik odpadu 4 wyciętych narożników wynosi \(\displaystyle{ 0.1111...}\) ( \(\displaystyle{ 11,111...\%}\)) jest on niezależny od przyjętych wymiarów \(\displaystyle{ a \times a}\) w tej optymalizacji . J
Jak to wykazać na wzorach uogólnionych przy pomocy pochodnych .
Z poważaniem T.W.
Zadanie odwrotne ;
Z jakiej blachy kwadratowej cienkościennej w tej optymalizacji wykonamy pudełko o wysokosci \(\displaystyle{ X = 10}\)
Ze wzoru nr 3 możemy wnioskować ze wymiar \(\displaystyle{ X}\) stanowi 1/6 boku, a stąd \(\displaystyle{ a = 60, a \times a = 60 \times 60}\) .
Wskaznik odpadu 4 wyciętych narożników wynosi \(\displaystyle{ 0.1111...}\) ( \(\displaystyle{ 11,111...\%}\)) jest on niezależny od przyjętych wymiarów \(\displaystyle{ a \times a}\) w tej optymalizacji . J
Jak to wykazać na wzorach uogólnionych przy pomocy pochodnych .
Z poważaniem T.W.
Ostatnio zmieniony 10 paź 2022, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Naczynia prostokątne
No ale co oznacza "w tej optymalizacji"? Co tu jest optymalizowane? Skoro masz uzyskać wysokość \(10\), to znaczy, że za każdym razem wycinasz z każdego naroża kwadrat \(10\times 10\). No to przecież im większy kwadratowy arkusz weźmiesz, tym większa będzie objętość pudełka. Nie jest też prawdą, że odpad stanowił będzie stałą część powierzchni arkusza.