Matematyka.pl

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 22:34Pan spędza więcej czasu nad użalaniem się nad tym kursem niż na rozwiązaniu problemu.

No cóż, mój czas mogę spędzać na czym chcę. Ja znam rozwiązanie tego problemu, więc nie muszę tracić na to czasu.

Widzisz, nawet nie zauważyłeś, że jakiś czas temu napisałem Ci dokładnie to, czego potrzebujesz do rozwiązania tego problemu.

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 22:34Jestem w momencie gdzie \(\displaystyle{ \frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} = 0 }\)

Jesteś w momencie, gdy policzyłeś pochodną \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} }\) i wyznaczyłeś jej miejsca zerowe.

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 22:34 Teraz z tego co rozumiem, muszę zbadać gdzie zmienia się znak:
\(\displaystyle{ f'(x)>0 }\)
\(\displaystyle{ f'(x)<0 }\)
Dobrze rozumiem?

Tak, to pozwoli Ci określić przedziały monotoniczności funkcji i wskazać ekstrema. I w tym celu dostałeś wskazówkę:

Jan Kraszewski pisze: ↑2 sty 2023, o 17:49 Jeżeli chcesz rysować "wężyk", to musisz pamiętać, że w rozważanej dziedzinie masz

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} > 0\iff (x-1)^{2}(x+5)(x+1)^{3}>0.}\)

JK

Już sobie wszystko ogarnąłem. Dzięki piasek101 za chęć pomocy, a niech JK usiądzie bo coś poczuty ostatnio.

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}. }\)

\(\displaystyle{ D_{f} = \RR \setminus \{-1\}.}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{[(x-1)^3]'(x+1)^2 - (x-1)^3[(x+1)^2]'}{(x+1)^4} = \frac{3(x-1)^2 (x+1)^2- 2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^4}= \frac{(x-1)^2(x+1)[3(x+1)-2(x-1)]}{(x+1)^4} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{(x-1)^2(x+1)(x+5)}{(x+1)^4}. }\)

\(\displaystyle{ D_{f'} = \RR \setminus \{-1\}. }\)

\(\displaystyle{ sign (f'(x)) = sign[(x-1)^2(x+1)(x+5)].}\)

Tabela
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -5) & \{-5\} & (-5, -1) & \{-1\} & (-1, 1) & \{1\} & (1,\infty) \\ \hline
f'(x) & + & 0 & - & X & + & 0 & + \\ \hline
f(x) & -\infty \nearrow -13,5 & fmax.lok.= -13,5 & -13,5 \searrow -\infty & asympt. pion. & -\infty \nearrow 0 & \{0\} & 0 \nearrow \infty \\ \hline
\end{tabular} }\)