Matematyka.pl

Jestem w trakcie robienia jednego z zadań z wyznaczania monotoniczności i ekstremów funkcji i natknąłem na problem.

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{(x-1)^{3}}{(x+1)^{2}} }\)

Jestem w momencie, w którym mam wyznaczone punkty krytyczne:
\(\displaystyle{ x=1, x=-5 }\)
oraz wiem, że częścią wspólną dziedziny funkcji i jej pochodnej jest przedział:
\(\displaystyle{ Df(x) = (-\infty, -1) \cup (-1, \infty) }\)

W tym momencie zadania rysowałem wykres na którym wyznaczałem, gdzie funkcja maleje i rośnie oraz gdzie znajdują się jej maksima i minima lokalne, jednakże wychodzi mi on błędnie: Linia odbija się od 1, bo wychodzi ona dwa razy przy obliczaniu miejsca zerowego pochodnej funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} = 0 }\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+5)=0}\)

\(\displaystyle{ x=1, x=-5}\)

Czy jest ktoś w stanie wytłumaczyć mi dlaczego na moim wykresie wychodzi błędny wynik?
Wiem, że można to zrobić za pomocą tabelki, jednakże wolałbym zrobić to tym sposobem, do tej pory nie zawodził.

A nie pomyślałeś, że mianownik też wpływa na znak?

JK

Podejrzewałem, że wymnażanie obydwu stron przez ten mianownik może być problemem, bo nie wiemy czy jest dodatni czy ujemny.

Jeżeli chcesz rysować "wężyk", to musisz pamiętać, że w rozważanej dziedzinie masz

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} > 0\iff (x-1)^{2}(x+5)(x+1)^{3}>0.}\)

JK

Nie do końca rozumiem dlaczego ma być większe od zera, do tej pory zawsze przyrównywałem do 0.

Po przyrównaniu do zera otrzymasz miejsca zerowe pochodnej i to już zrobiłeś. Ale potem badasz znak pochodnej, więc zastanawiasz się gdzie to wyrażenie będzie większe/mniejsze od zera.

JK

Będąc szczerym to nie do końca rozumiem co masz na myśli "badasz znak pochodnej". Metodą wyznaczania ekstremów przedstawił mi e-trapez i robiło się to mniej więcej tak:
1. Wyznaczasz dziedzinę funkcji.
2. Obliczasz pochodną funkcji.
3. Wyznaczasz dziedzinę pochodnej.
4. Przyrównujesz pochodną do 0.
5. Rysujesz wykres, zaznaczasz na nim miejsca krytyczne (miejsca zerowe pochodnej funkcji) i dziedzinę na wykresie.
6. Rysujesz od prawej "Wężyka", wężyk przebija się jeżeli x wyszedł nieparzystą ilość razy i odbija jeżeli parzystą ilość razy.
7. Wykres dzielisz na sektory, które przecinają się w punktach krytycznych.

Nie wiem gdzie tutaj bada się znak pochodnej, ale nie za bardzo wiem jak to zaimplementować w tej metodzie.

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 19:06 Będąc szczerym to nie do końca rozumiem co masz na myśli "badasz znak pochodnej". Metodą wyznaczania ekstremów przedstawił mi e-trapez

No cóż, takie są właśnie efekty korzystania z e-trapeza - wykonujesz bez zrozumienia szereg czynności. I dlatego e-trapez nie nauczy Cię matematyki, tylko pomoże wytresować w (zazwyczaj bezmyślnym) wykonywaniu pewnych algorytmów. W prostych sytuacjach to może wystarczyć, ale jak widać wystarczy nieco bardziej skomplikowany przykład i leżysz, w dodatku nawet nie wiesz dlaczego...

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 19:065. Rysujesz wykres, zaznaczasz na nim miejsca krytyczne (miejsca zerowe pochodnej funkcji) i dziedzinę na wykresie.

Wykres czego?

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 19:066. Rysujesz od prawej "Wężyka", wężyk przebija się jeżeli x wyszedł nieparzystą ilość razy i odbija jeżeli parzystą ilość razy.

A skąd bierze się ów magiczny wężyk?

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 19:06Nie wiem gdzie tutaj bada się znak pochodnej, ale nie za bardzo wiem jak to zaimplementować w tej metodzie.

Zaproponowana przez Ciebie e-trapezowa metoda ma bardzo ograniczoną stosowalność - nadaje się do badania funkcji wielomianowych.

Po wyznaczeniu punktów krytycznych należy sprawdzić, czy funkcja przechodząc przez te punkty zmienia się z rosnącej na malejącą (wtedy jest maksimum) bądź z malejącej na rosnącą (wtedy jest minimum). Ponieważ funkcja jest rosnąca, gdy pochodna jest dodatnia, a malejąca, gdy pochodna jest ujemna, więc powyższe odpowiada badaniu, czy pochodna przechodząc przez punkty krytyczne zmienia znak z plusa na minus (maksimum) bądź z minusa na plus (minimum). I dlatego właśnie badasz znak pochodnej - żeby wyznaczyć przedziały monotoniczności i stwierdzić istnienie ekstremów.

Rysowanie "wężyka" działa tylko wtedy, gdy pochodna, której badasz znak, jest funkcją wielomianową albo gdy badanie jej znaku sprowadza się do badania znaku funkcji wielomianowej. A w rozpatrywanym przez Ciebie zadaniu nie jest i dlatego Twoje próby dały złą odpowiedź. Moja uwaga pokazała Ci, jak można sprowadzić badanie znaku Twojej pochodnej do badania znaku funkcji wielomianowej.

JK

Spróbuje zobaczyć jeszcze inne źródła.
Znalazłem przykład:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{e^{x}} }\)
gdzie pochodna tej funkcji chyba nie jest wielomianem i sposób opisany przeze mnie wyżej zadziałał.

Bo pomimo, że nie jest to wielomian (w poprzednim poście nieopatrznie napisano ,,tylko") masz taką pochodną gdzie znak mianownika nie wpływa na rozwiązanie określonej nierówności - tylko tak Ci się trafiło.

piasek101 pisze: ↑2 sty 2023, o 22:00(w poprzednim poście nieopatrznie napisano ,,tylko")

To było napisane celowo - zauważ, że sytuacja, która wymaga istotnego spostrzeżenia, że "znak mianownika nie wpływa na rozwiązanie określonej nierówności" to jest już inna bajka, bo musisz to spostrzeżenie uczynić, czyli musisz wiedzieć, co robisz...

JK

Mi chodziło o ,,tylko" w kontekście, że pochodna ma być wielomianem - tyle

Jan Kraszewski pisze: ↑2 sty 2023, o 22:05

piasek101 pisze: ↑2 sty 2023, o 22:00(w poprzednim poście nieopatrznie napisano ,,tylko")

To było napisane celowo - zauważ, że sytuacja, która wymaga istotnego spostrzeżenia, że "znak mianownika nie wpływa na rozwiązanie określonej nierówności" to jest już inna bajka, bo musisz to spostrzeżenie uczynić, czyli musisz wiedzieć, co robisz...

JK

Już wcześniej pisałem, że mam problem z zadaniami gdzie znak mianownika w pochodnej nie zawsze jest dodatni.
Jednakże Pan Jan nie był w stanie zrobić tego istotnego spostrzeżenia.

piasek101 pisze: ↑2 sty 2023, o 22:07 Mi chodziło o ,,tylko" w kontekście, że pochodna ma być wielomianem - tyle

Taka była moja intencja: bezmyślna metoda e-trapezu działa tylko, gdy pochodna jest wielomianem, czyli w przypadku funkcji wielomianowych. Każda inna sytuacja (nawet taka, gdzie ostatecznie da się skorzystać z "wężyka") wymaga zrozumienia, co tak naprawdę robimy.

Veanty pisze: ↑2 sty 2023, o 22:11 Już wcześniej pisałem, że mam problem z zadaniami gdzie znak mianownika w pochodnej nie zawsze jest dodatni.
Jednakże Pan Jan nie był w stanie zrobić tego istotnego spostrzeżenia.

Nie, Ty masz problem, bo nie rozumiesz, na czym polega badanie funkcji. Oczekiwanie, że pochodna funkcji będzie funkcją wielomianową albo wymierną bądź da się zapisać w postaci prostego ułamka jest naiwne.

JK

Nigdzie nie napisałem, że tego oczekuje. Skąd takie podejrzenie?
Chcę tylko rozwiązać zadanie i nie wiem do końca jak.
Pan spędza więcej czasu nad użalaniem się nad tym kursem niż na rozwiązaniu problemu.
Jestem w momencie gdzie \(\displaystyle{ \frac{(x-1)^{2}(x+5)}{(x+1)^{3}} = 0 }\)
Teraz z tego co rozumiem, muszę zbadać gdzie zmienia się znak:
\(\displaystyle{ f'(x)>0 }\)
\(\displaystyle{ f'(x)<0 }\)
Dobrze rozumiem?