Matematyka.pl

Mam za zadanie pokazać, że używając metody mnożników Lagrange'a, nie jest możliwe znalezienie minimum funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = x+y}\),
rozpatrując następujące ograniczenia:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 + y^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ (x-2)^2 + y^2 = 4}\)

Wskazane ograniczenia mają tylko jeden punkt wspólny: \(\displaystyle{ (x,y) = (0,0)}\). Zatem szukane minimum ma wartość 0. Wiem zatem, że ono istnieje.

Chcąc sprawdzić, że metodą mnożników Lagrange'a nie otrzymam tej wartości postępują następująco:
1. Definiuję funkcję:

\(\displaystyle{ L(x,y;\lambda) = x+y - \lambda_1((x-1)^2+y^2-1) - \lambda_2((x-2)^2 + y^2 - 4)}\).

2. Znajduję punkty stacjonarne postaci:

\(\displaystyle{ x = \frac{1+2\lambda_1+4\lambda_2}{2(\lambda_1+\lambda_2)}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2(\lambda_1+\lambda_2)}}\)

3. Wstawiam ich wartości do ograniczeń, aby otrzymać wartości parametrów \(\displaystyle{ \lambda_1}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2}\). W tym momencie zakopuję się w obliczeniach.

Chciałbym zapytać, czy możliwe jest wcześniejsze stwierdzenie, że metoda mnożników Lagrange'a nie zadziała w tym przypadku. Mam podpowiedź, że któreś z założeń metody jest niespełnione. Nie wiem jednak które.

2. Znajduję punkty stacjonarne postaci:

\(\displaystyle{ x = \frac{1+2\lambda_1+4\lambda_2}{2(\lambda_1+\lambda_2)}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2(\lambda_1+\lambda_2)}}\)

OK, a czy możliwe jest, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(\lambda_1+\lambda_2)}=0}\) No tak chyba nie za bardzo.
Obliczeń nie sprawdzałem.

Zgadzam się, że jest to niemożliwe.
Jednak chciałbym wiedzieć, jak mając jedynie podaną funkcję do zminimalizowania i ograniczenia mogę stwierdzić, że metoda mnożników Lagrange'a nie zadziała.
To znaczy, jakie z założeń tej metody nie jest na wstępnie spełnione. Chciałbym zrozumieć to bardziej ogólnie, nie ograniczając się do tego szczególnego przypadku.

Można stwierdzić za pomocą następującego twierdzenia

Jeżeli w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\) przy \(\displaystyle{ \lambda = \lambda_{0}}\) spełnione są warunki konieczne:

\(\displaystyle{ (f'_{|x})_(x_{0},y_{0})}(x, y)+ \lambda \cdot (f'_{|(x})_{(x_0},y_{0})}(x, y) =0,}\)

\(\displaystyle{ (f'_{|y})_{(x_{0},y_{0})}(x, y)+ \lambda \cdot (f'_{|(y})_{(x_0},y_{0})}(x, y) =0,}\)

\(\displaystyle{ g(x_{0}, y_{0}) = 0}\)

oraz funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) ma ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego, to w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma minimum warunkowe przy warunku \(\displaystyle{ g(x_{0}, y_{0}) =0,}\) gdy dla \(\displaystyle{ \lambda = \lambda_{0}}\) wyznacznik (hesjan obrzeżony)

\(\displaystyle{ H =\left| \begin{matrix} 0&g_{|x}(x_{0},y_{0})&g_{|y}(x_{0},y_{0})\\ g_{|x}(x_{0},y_{0})&L^2_{x|x}(x_{0},y_{0})&L^2_{x|y}(x_{0},y_{0})\\ g_{|y}(x_{0},y_{0})&L^2_{y|x}(x_{0},y_{0})&L^2_{y|y}(x_{0},y_{0}) \end{matrix}\right |}\)

jest ujemny oraz maksimum warunkowe, jeżeli wyznacznik jest dodatni.