Max warunkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11028
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3108 razy
Pomógł: 739 razy

Max warunkowe

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ 2x+y,}\) jeśli

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2 > 4 \\ x^2+y^2 \leq 2x+2y. \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2023, o 00:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22098
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Max warunkowe

Post autor: a4karo »

Wyrażenie `2x+y` jest stałe wzdłuż prostych o współczynniki kierunkowym `-2`.
W pierwszej ćwiartce układu koło `(x-1)^2+(y-1)^2\le 2` "wystaje" w prawo i do góry poza okrąg `x^2+y^2=2`.
Stąd wniosek, że największa wartość `2x+y` będzie osiągnieta na prostej, która jest styczna do koła w pierwszej ćwiartce.
Punkt styczności tej prostej jest punktem przecięcia okręgu `(x-1)^2+(y-1)^2= 2` i prostej \(\displaystyle{ y-1=\frac{x-1}2`}\),
co daje
\(\displaystyle{ x_0=1+\frac{2\sqrt2}{\sqrt5}\text{ oraz } y_0=1+\frac{\sqrt2}{\sqrt5}.}\)
Zatem maksymalna wartość to `3+\sqrt{10}`.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2023, o 15:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
ODPOWIEDZ