Matematyka.pl

Witam,
Mam zadanie, w którym należy znaleźć liczbę pierwiastków \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) równania \(\displaystyle{ a^x = 2016x}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ a > 0}\).

Mam pytania co do poprawności mojego sposobu rozumowania oraz co do jego ścisłości.
Widzę to tak: Mamy dwie funkcje, jedna wykładniczą i jedną liniową \(\displaystyle{ y = 2016x}\). Rozważam sobie następujące przypadki:
1. \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\): Wtedy funkcja wykladnicza jest malejąca, zbiegająca asymptotycznie do 0 i na pewno raz przetnie się z liniową - czyli jeden pierwiastek
2. \(\displaystyle{ a = 1}\): wtedy jest to funkcja stała, jedno przecięcie na pewno - jeden pierwiastek
3. \(\displaystyle{ a > 1}\): teraz mamy rosnąca funkcję wykładniczą i mamy przypadki:
a) funkcja będzie rosła tak szybko, że "nie zdąży" sie przeciąc z liniową - 0 pierwiastków
b) funkcja styknie się w pewnym punkcie krytycznym z liniową i dalej będzie rosła szybciej - jeden pierwiastek
c) funkcja będzie rosła za wolno, przetnie się dwa razy z liniową

Czyli do punktu 3. musimy znaleźć takie pewne krytyczne \(\displaystyle{ a}\). Teraz tak - jak je znaleźć? Domyslam się że należy liczyć pochodne, ale co dalej? Nie umiem niestety nic wykombinować.
I druga rzecz - na ile takie rozumowanie jest ścisłe / jak inaczej to przedstawić zeby bylo ściśle (zadane z egzaminu, gdzie trzeba raczej ścisle formułować mysli).

Z góry dzięki za pomoc

Rozumowanie jest ok. można je wzmocnić argumentem, że lewa stron sciśle rośnie ze wzrostem \(\displaystyle{ a}\) (dla \(\displaystyle{ a>0}\))

wsk. w punkcie styku pochodne obu funkcji muszą być takie same