Matematyka.pl

Witam
Mam problem z zadaniem :
Obliczyć pod jakim kątem przecinają się krzywe otrzymane przez przecięcie powierzchni \(\displaystyle{ z=X^2+ (y^2/6)}\) i \(\displaystyle{ z=(x^2 + y^3)/3}\) z płaszczyzną y=2

Jeśli ktos ma jakies sugestie to prosze o pomoc .

Wie ktoś jak rozwiązać to zadanie?

Mamy

\(\displaystyle{ z_1(x) = x^2+\frac{2}{3} \\ \\
z_2(x) = \frac{x^2+8}{3}.}\)

Wykresami tych funkcji są dwie parabole o wierzchołkach na osi \(\displaystyle{ \mbox{OY},}\) symetryczne względem niej. Dlatego pomimo, że parabole przecinają się w dwóch punktach \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}, \ x_2=-\sqrt{3},}\) wystarczy obliczyć kąt przecięcia w jednym z nich.

Jeśli \(\displaystyle{ varphi in left[0, frac{pi}{2}
ight)}\) będzie kątem przecięcia się krzywych w punkcie \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\) to

\(\displaystyle{ \tg \varphi = \left| \frac{z_1 ' \left( \sqrt{3} \right) - z_2 '\left( \sqrt{3} \right)}{1+ z_1 '\left( \sqrt{3} \right) z_2 '\left( \sqrt{3} \right)} \right| = \frac{ 4\sqrt{3}}{15}}\)

A skąd ten wzór na tangensa się wziął?

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami przecięcia stycznych w punkcie \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\) do wykresów funkcji \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) odpowiednio z prostą \(\displaystyle{ (y, z)=(2, 0),}\) to kąt przecięcia się tych wykresów w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) wynosi \(\displaystyle{ \varphi=|\alpha - \beta|,}\) więc

\(\displaystyle{ \tg \varphi = \left| \tg (\alpha - \beta) \right| = \left| \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta} \right| =\left| \frac{z_1 ' \left( \sqrt{3} \right) - z_2 '\left( \sqrt{3} \right)}{1+ z_1 '\left( \sqrt{3} \right) z_2 '\left( \sqrt{3} \right)} \right|,}\)

bo \(\displaystyle{ z_1 '\left( \sqrt{3} \right) = \tg \alpha}\) i \(\displaystyle{ z_2 '\left( \sqrt{3} \right)=\tg \beta.}\)

Dziękuję