Matematyka.pl

Proszę o pomoc:

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{d^2u}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du}{dt}+ \frac{u}{CL}=0 }\), gdzie \(\displaystyle{ u(t) }\) oznacza napięcie między okładkami kondensatora, \(\displaystyle{ t}\)-czas, \(\displaystyle{ C}\)-pojemność kondensatora, \(\displaystyle{ L}\) - współczynnik samoindukcji. Znaleźć rozwiązanie szczególne dla warunków \(\displaystyle{ u(0)=u_0, u'(0)=i_0.}\)

Ktoś ma jakiś pomysł?

Równanie różniczkowe o stałych współczynnikach

Tak zaczynałem, ale tam wychodzi delta z samymi stałymi - skąd mam wiedzieć, czy jest dodatnia, ujemna, czy równa 0 - bo od tego przecież zależy rozwiązanie. Czy po prostu trzeba rozpatrzeć 3 przypadki?

W teorii mamy po prostu 3 przypadki. W praktyce być może jakieś z nich będą nie fizyczne.

\(\displaystyle{ \frac{d^2u}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du}{dt}+ \frac{u}{CL}=0 \ \ (1) }\)

Jest to równanie różniczkowe zmian napięcia na kondensatorze.

Uwzględniając zależności \(\displaystyle{ u = q c, }\) zapisujemy równanie \(\displaystyle{ (1) }\) w notacji ładunku na kondensatorze \(\displaystyle{ q}\)

\(\displaystyle{ \frac{d^2q}{dt^2}+ \frac{R}{L} \frac{du}{dt}+ \frac{u}{CL}=0 \ \ (2) }\)

Różniczkujemy równanie \(\displaystyle{ (2) }\) względem zmiennej \(\displaystyle{ t. }\)

Biorąc pod uwagę zależności:

\(\displaystyle{ i = -\frac{dq}{dt}, \ \ -\frac{d^{2}q}{dt^2} = \frac{di}{dt}, \ \ - \frac{d^3q}{dt^3} = \frac{d^2i}{dt^2}}\)

otrzymujemy równanie określające natężenie prądu w obwodzie :

\(\displaystyle{ \frac{d^2 i}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = 0 \ \ (3)}\)

Poszukujemy rozwiązania równania \(\displaystyle{ (2) }\) w postaci \(\displaystyle{ q = A e^{mt}, }\) wówczas mamy

\(\displaystyle{ \frac{dq}{dt} = Ame^{mt}, \ \ \frac{d^2q}{dt^2} = Am^2e^{mt}.}\)

Podstawiając je do równania \(\displaystyle{ (2) }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ Ae^{mt} \left(m^2 + \frac{R}{L}m + \frac{1}{LC} \right) = 0.}\)

Czynnik \(\displaystyle{ Ae^{mt} }\) nie może być równy zeu, ponieważ brak ładunku na kondensatorze oznaczałby, że nie zachodzą drgania.

Wobec tego przyrównujemy do zera sumę

\(\displaystyle{ m^2 + \frac{R}{L} m + \frac{1}{LC} = 0, }\)

skąd

\(\displaystyle{ m_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}.}\)

Wprowadzając dodatkowe oznaczenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{LC} = \omega^2_{u}, \ \ \frac{R}{2L} = \alpha }\)

mamy

\(\displaystyle{ m_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega^2_{u}} = -\alpha \pm j \sqrt{\omega^2_{u} - \alpha^2}.}\)

Oznaczając \(\displaystyle{ \sqrt{\omega^2_{u} - \alpha^2} = \omega_{p} }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ m_{1} = -\alpha + j\omega_{p} , \ \ m_{2} = -\alpha - j\omega_{p}.}\)

Ładunek na kondensatorze wyraża się za pomocą wzoru:

\(\displaystyle{ q = A_{1}e^{m_{1}t} + A_{2}e^{m_{2}t} = e^{-\alpha t}(A_{1}e^{j\omega_{p}t} +A_{2}e^{j\omega_{p} t}).}\)

Z równania Eulera

\(\displaystyle{ e^{j\omega_{p}t} = \cos(\omega_{p}t) + j\sin(\omega_{p}t) }\)

\(\displaystyle{ e^{-j\omega_{p}t} = \cos(\omega_{p}t) - j\sin(\omega_{p}t). }\)

Wówczas

\(\displaystyle{ q = e^{-\alpha t} [(A_{1} + A_{2})\cos(\omega_{p}t) + j(A_{1}-A_{2})\sin(\omega_{p}t)] }\)

Oznaczając:

\(\displaystyle{ A_{1} + A_{2} = M, \ \ A_{1} - A_{2} = N }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ q = e^{-\alpha t}( M\cos(\omega_{p}t) + N\sin(\omega_{p}t)] \ \ (4) }\)

Stałe \(\displaystyle{ M, \ \ N }\) wyznaczamy z warunków początkowych.

W chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) jest \(\displaystyle{ i = 0 }\) oraz \(\displaystyle{ q = q_{max}.}\)

Zatem w chwili \(\displaystyle{ t = 0 }\) na kondensatorze znajduje się maksymalny ładunek \(\displaystyle{ q_{max}, }\)

ale z równania \(\displaystyle{ (4) }\) mamy: \(\displaystyle{ t= 0, \ \ q = M.}\)

Wobec tego

Z równania \(\displaystyle{ (4) }\)

\(\displaystyle{ q = e^{-\alpha t}[ q_{max} \cos(\omega_{p}t) + N\sin(\omega_{p}t)] \ \ (5)}\)

oraz

\(\displaystyle{ i(t) = -\frac{dq}{dt} = -e^{-\alpha t} [(\omega_{p}N - \alpha q_{max})\cos(\omega_{p} t) - (\omega_{p}q_{max}+\alpha N)\sin(\omega_{p}t)] \ \ (6) }\)

W chwili początkowej \(\displaystyle{ t = 0 }\) kondensator nie jest naładowany \(\displaystyle{ (q = 0), }\) a więc prąd w obwodzie nie płynie \(\displaystyle{ (i = 0). }\)

Z drugiego warunku początkowego i równania \(\displaystyle{ (6) }\) wynika, że

\(\displaystyle{ \omega_{p}N - \alpha q_{max} = 0 }\)

skąd

\(\displaystyle{ N = q_{max}\frac{\alpha}{\omega_{p}}.}\)

Podstawiając wartość \(\displaystyle{ N }\) do równań \(\displaystyle{ (5), \ \ (6) }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ q(t) = q_{max} e^{-\alpha t}\left( \cos(\omega_{p}t) + \frac{\alpha}{\omega_{p}}\sin(\omega_{p}t)\right) \ \ (7)}\)

\(\displaystyle{ i(t) = q_{max} \left(\omega_{p} + \frac{\alpha^2}{\omega_{p}}\right) e^{-\alpha t} \sin(\omega_{p} t) }\)

Czynnik \(\displaystyle{ q_{max}\left(\omega_{p}+ \frac{\alpha^2}{\omega_{p}} \right) = I_{max} }\) przedstawia wartość maksymalną natężenia prądu (amplitudę).

Zatem

\(\displaystyle{ i(t) = I_{max} e^{-\alpha t} \sin(\omega_{p}t) \ \ (8)}\)

Wykorzystując zależność \(\displaystyle{ u(t) = \frac{q(t)}{C} }\) oraz równość \(\displaystyle{ (7) }\) otrzymujemy przebieg napięcia na kondensatorze

\(\displaystyle{ u(t) = U_{max} e^{-\alpha t} \left(\cos(\omega_{p}t) +\frac{\alpha}{\omega_{p}}\sin(\omega_{p}t)\right) \ \ (9)}\)

Pozostało przedstawienie graficzne równań drgań gasnących \(\displaystyle{ (7), (8), (9).}\)