Witam serdecznie. Mam takie drobne pytanie o zadanie:
Jaki trójkąt o obwodzie 20cm ma największą powierzchnie?
Rozwiązałem je w taki sposób, że zauważyłem, że będzie to jak to w optymalizacyjnych bywa połowa kwadratu, czyli trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ a}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\), który wygląda jakoś tak:
Jako że obwód wynosi 20cm, to zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ 2a+ a\sqrt{2}=20}\)
\(\displaystyle{ a(2+\sqrt{2})=20}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{20}{2+\sqrt{2}}}\)
Moja odpowiedź brzmiała tak: Trójkątem spełniającym podane założenia jest trójkąt o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a= \frac{20}{2+\sqrt{2}}}\) i \(\displaystyle{ P=\frac{a^2}{2}}\)
Czy to zadanie wykonałem dobrze?
Jaki trójkąt prostokątny...
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Jaki trójkąt prostokątny...
Co to znaczy „zauważyłem"? Takie rzeczy trzeba uzasadniać.
Mamy (tw. Pitagorasa) warunek
\(\displaystyle{ a+b+\sqrt{a^2+b^2}=20}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) – przyprostokątne, a chcemy zmaksymalizować \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab}\). Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ a+b\ge 2\sqrt{ab}\\a^2+b^2\ge 2ab\\ a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge (2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\\\frac{1}{2}\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2} \right)^2\ge \frac 12 ab}\)
z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\).
Dalej mamy równanie \(\displaystyle{ 20=(2+\sqrt{2})a}\) jak opisałeś.
florek177, nie ma potrzeby usuwania nierówności z mianownika, tak się kiedyś robiło dla łatwiejszego przybliżenia, kiedy nie mieliśmy jeszcze tak mocnych komputerów, wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) nie jest w niczym mniej elegancki niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Mamy (tw. Pitagorasa) warunek
\(\displaystyle{ a+b+\sqrt{a^2+b^2}=20}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) – przyprostokątne, a chcemy zmaksymalizować \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab}\). Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ a+b\ge 2\sqrt{ab}\\a^2+b^2\ge 2ab\\ a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge (2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\\\frac{1}{2}\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2} \right)^2\ge \frac 12 ab}\)
z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\).
Dalej mamy równanie \(\displaystyle{ 20=(2+\sqrt{2})a}\) jak opisałeś.
florek177, nie ma potrzeby usuwania nierówności z mianownika, tak się kiedyś robiło dla łatwiejszego przybliżenia, kiedy nie mieliśmy jeszcze tak mocnych komputerów, wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) nie jest w niczym mniej elegancki niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Jaki trójkąt prostokątny...
To ja Was pogodzę: https://www.matematyka.pl/187504.htm#p692438
EDIT: Ach, teraz dopiero zauważyłam rozbieżność tematu wątku z treścią zadania. Nieważne.
EDIT: Ach, teraz dopiero zauważyłam rozbieżność tematu wątku z treścią zadania. Nieważne.
Ostatnio zmieniony 5 lut 2018, o 15:55 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Jaki trójkąt prostokątny...
Ale w nazwie wątku stoi jak wół trójkąt prostokątny.-- 5 lut 2018, o 15:56 --Sam na początku napisałem rozwiązanie z Herona i nierówności między średnimi, z równością dla trójkąta równobocznego, ale potem spojrzałem na nazwę wątku.