Matematyka.pl

Witam,
liczę granicę \(\displaystyle{ {r_{x_0}(h)} \over {||h||}}\) aby sprawdzić, czy funkcja jest różniczkowalna - np. dla takiej funkcji:
\(\displaystyle{ {xy^2} \over {x^2+y^2}}\) reszta w punkcie \(\displaystyle{ (0,0) }\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ {h_1h_2^2} \over (h_1^2+h_2^2)^{3 \over 2}}\)
Po podstawieniu trygonometrycznym \(\displaystyle{ x = r \cos( \theta), y = r\sin (\theta)}\) otrzymuję (\(\displaystyle{ r}\) się skraca):
\(\displaystyle{ \cos(\theta)\sin^2(\theta)}\)

Teraz przejdę do mojego pytania:
Taki wynik (zależny od kąta \(\displaystyle{ \theta}\)) wydaje się wystarczającym dowodem na to, że różniczka nie istnieje (bo wartość reszty jest różna w zależności od kąta \(\displaystyle{ \theta}\)), ale przecież można sprawdzić, że różniczka istnieje przy użyciu któregoś z tych sposobów:
1) \(\displaystyle{ 0 \le \left|{{h_1h_2^2} \over (h_1^2+h_2^2)^{3 \over 2}}\right| \le \left|{{h_1^2h_2^2} \over (h_1^2+h_2^2)^{3 \over 2}}\right|}\),
następnie w granicy drugie wyrażenie zmierza do zera (tam już pozostanie jedno \(\displaystyle{ r}\) po skróceniu), więc ta granica też musi być równa zero, bo jest od niego mniejsza lub równa i większa lub równa.
2) sprawdzając kilka różnych ciągów widać, że ciężko znaleźć taki, który się "nie zgadza" (wiem, że to nie dowód, ale utwierdza w przekonaniu, że różniczka jest):
(przy okazji chciałbym zapytać, czy w poprawny sposób liczę te ciągi, tzn. czy granica jest odpowiednio podstawiona z formalnego punktu widzenia):
Idę z granicą po ciągu \(\displaystyle{ \left({1 \over n}, {1 \over n}\right)}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ \left({1 \over n}, {1 \over n}\right) \to (0,0) }f(x,y) = {1 \over {2n}} = 0}\)

Idę z granicą po ciągu \(\displaystyle{ \left({1 \over n}, {n}\right)}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ \left({1 \over n}, {n}\right) \to (0,0) }f(x,y) = {1 \over {2n}} = 0}\)


Koniec końców różniczka jednak istnieje, jednak dlaczego jest to sprzeczne z intuicją powiązaną z wartością \(\displaystyle{ \cos(\theta)\sin^2(\theta)}\)? Mam nadzieję, że dobrze się wyraziłem, wydawałoby się, że skoro jest to wartość zależna od kąta, to przecież przyjmuje różne wartości (a powinna zero).

Szustarol pisze: ↑11 maja 2020, o 01:501) \(\displaystyle{ 0 \le \left|{{h_1h_2^2} \over (h_1^2+h_2^2)^{3 \over 2}}\right| \red{ \le } \left|{{h_1^2h_2^2} \over (h_1^2+h_2^2)^{3 \over 2}}\right|}\),

Skąd wziąłeś czerwoną nierówność?

Szustarol pisze: ↑11 maja 2020, o 01:50Idę z granicą po ciągu \(\displaystyle{ \left({1 \over n}, {1 \over n}\right)}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ \left({1 \over n}, {1 \over n}\right) \to (0,0) }f(x,y) = {1 \over {2n}} = 0}\)

Abstrahując od celu, ten zapis wygląda fatalnie, zarówno symbolicznie, jak i słownie ("idę z granicą po ciągu"?!). Chciałeś zapewne napisać

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }f\left( \frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\to \infty }\frac{1}{2n} = 0}\)

Szustarol pisze: ↑11 maja 2020, o 01:50Idę z granicą po ciągu \(\displaystyle{ \left({1 \over n}, {n}\right)}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ \left({1 \over n}, {n}\right) \to (0,0) }f(x,y) = {1 \over {2n}} = 0}\)

A ten zapis, poza tym, że fatalnie wygląda, to nie ma sensu, bo ciąg punktów \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n},n\right) }\) nie zbiega do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\).

JK

Racja, nie przemyślałem, że dla \(\displaystyle{ h_1<1}\) taka nierówność nie ma sensu, a przecież w okolicy
punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) tak właśnie jest.

W takim razie policzę jeszcze jedną granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0 }f\left( n,n\right) = \lim_{n\to 0 }\frac{n^3}{(n^2+n^2)^{3 \over 2}} = \lim_{n\to 0 }\frac{n^3}{(n^2+n^2)^{3 \over 2}}
= \lim_{n\to 0 }\frac{n^3}{(2n^2)^{3 \over 2}} = {1 \over 2^{3 \over 2}}}\),
a więc wynikałoby z tych obliczeń, że różniczka jednak nie istnieje.
Teraz wracam w takim razie do mojego pierwotnego pytania - czy mogłem ten wniosek wyciągnąć już z postaci podstawienia trygonometrycznego?

Jednocześnie, czy w przypadku innym niż ten (np. inna postać "trygonometrycznego" wyniku) też zagwarantuje nieistnienie granicy?

Dziękuję za pomoc z zapisem.