Matematyka.pl

Oblicz:
1) \(\displaystyle{ \ \lim_{ x\to \infty } \frac{lnx}{ x^{2} }}\)

2) \(\displaystyle{ [In \sqrt{ e^{sin( x^{2}+3x+4) } }]'}\)

Ktoś wie jak to zrobić??

1. hospitalem
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{lnx}{ x^{2} }\stackrel{[H]}{=}\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2x^2}=0}\)

1) \Reguła de l'Hospitala

2) co to jest \(\displaystyle{ In}\)?

In to ln ;p zapewne a więc

\(\displaystyle{ [\ln {\sqrt{ e^{sin( x^{2}+3x+4) } }}]'=\frac{1}{\sqrt{e^{sin( x^{2}+3x+4)} }}\cdot \frac{1}{2\sqrt{e^{sin( x^{2}+3x+4)} }}\cdot e^{sin( x^{2}+3x+4)} \cdot \cos{(x^2+3x+4)} \cdot (2x+3)=\frac{(2x+3) \cos{(x^2+3x+4)}}{2}}\)-- 19 lutego 2010, 13:56 --2 można też obliczyć znacznie szybciej korzystając z trzech faktów:

1- \(\displaystyle{ \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}}\)
2- \(\displaystyle{ \ln{a^b}=b \ln{a}}\)
3- \(\displaystyle{ \ln{e}=1}\)

i tak z 1:
\(\displaystyle{ \sqrt{e^{\sin{(x^2+3x+4)}}}=e^{\frac{\sin{(x^2+3x+4)}}{2}}}\)
do tego z 2 i 3:
\(\displaystyle{ \ln {\sqrt{ e^{sin( x^{2}+3x+4) } }}=\frac{e^{(x^2+3x+4)}}{2} \ln{e}=\frac{e^{(x^2+3x+4)}}{2}}\)

licząc pochodną z tego dochodzimy do identycznego wyniku. Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ \ln {\sqrt{ e^{sin( x^{2}+3x+4) } }}=\frac{e^{(x^2+3x+4)}}{2} \ln{e}=\frac{e^{(x^2+3x+4)}}{2}}\)

Grrr.

haha zamieszałem

\(\displaystyle{ \ln {\sqrt{ e^{sin( x^{2}+3x+4) } }}=\frac{\sin{(x^2+3x+4)}}{2} \ln{e}=\frac{\sin{(x^2+3x+4)}}{2}}\)