Matematyka.pl

Witam,
Mam o to dwie funkcje.
\(\displaystyle{ f(x,y)= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } + sin( y^{2} )}\)
\(\displaystyle{ g(x,y)= x ^{2}+e ^{-(x ^{2}+y ^{2} )}}\)
Mam obliczyć gradient w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=(0,0)}\)
Z definicji wiemy:
\(\displaystyle{ gradf = (\pfrac{f}{x}, \pfrac{f}{y})}\)

Moje przemyślenia:
\(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}= \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{f}{y}= \frac{y}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }} +2y \cos(y ^{2} )}\)
Gdy podstawimy punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) dla \(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}}\) to wyjdzie nam symbol nieoznaczony. Jednakże zauważyłem:
\(\displaystyle{ -x \le \frac{-x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }} \le \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }} \le x}\)
Co daje nam 0. Zgadza się?
Dla\(\displaystyle{ \pfrac{f}{y}}\)człon pierwszy również się zredukuje do 0, a wyrażenie \(\displaystyle{ 2y \cos(y ^{2} )}\) da nam również 0 (bo \(\displaystyle{ 0 \cdot \left\langle -1,1\right\rangle = 0}\))
Czyli gradient funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = \left[ 0,0\right]}\)
Dla funkcji g(x,y):
\(\displaystyle{ \pfrac{g}{x}=2x(1-e ^{-(x ^{2}+y ^{2} )} )}\)
\(\displaystyle{ \pfrac{g}{y}=-2ye ^{-(x ^{2}+y ^{2} )}}\)

No i teraz przechodzimy do podstawiania wartości. \(\displaystyle{ (0,0)}\) dla \(\displaystyle{ \pfrac{g}{x}}\) według mnie redukuje się to do \(\displaystyle{ 0 \cdot (1-e ^{0})=0 \cdot 0=0}\) dla \(\displaystyle{ \pfrac{g}{y}}\) również wychodzi 0 bez symbolu nieoznaczonego.

Dobrze kombinuję?

Kombinujesz dobrze, ale dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) brak „kropki nad i”.

• \(\displaystyle{ -x\le\frac{\partial f}{\partial x}\le x}\) – i twierdzenie o granicy trzech funkcji

Co za bzdurę napisałem
Więcej informacji poniżej.

SlotaWoj, A czy przypadkiem nie jest tak,ze np. pochodna czastkowa f w zerze nie istnieje?Na jakiej podstawie w ogole tutaj stwierdzacie, ze f jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) ?
Z definicji:
\(\displaystyle{ \lim_{ h \to 0} \frac{f(0 +h,0) -f(0,0)}{h} = \lim_{ h \to 0} \frac{|h|}{h }}\) Taka granica nie istnieje

PLus blisko zera jest \(\displaystyle{ \frac{|x|}{ \sqrt{x^2 +y^2} } \ge |x|}\)

@Harahido

Wróc!

Leg14 ma rację.
Zauważyłem nienazwaną explicite próbę zastosowania twierdzenia o granicy trzech funkcji i uznałem, że powinno to być wyrażone wprost, a przeoczyłem, że funkcje po lewej i prawej stronie są złe.

leg14 pisze:
PLus blisko zera jest \(\displaystyle{ \frac{|x|}{ \sqrt{x^2 +y^2} } \ge |x|}\)

Czy to oznacza, że granica w punkcie (0,0) wynosi 0? Nie wiem jak mam to zinterpretować.

Generalnie cale Twoje rozwiazanie jest oparte na blednych zalozeniach.
Popatrz:
obliczyles gradient funkcji, w punktach roznych od \(\displaystyle{ (0,0)}\).

I teraz pokazujesz (uzywajac zlych oszacowan,ale to nie jest teraz istotne), ze
gradient funkcji dazy do zera, jesli \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\)
Stad wyciagasz wniosek, ze gradient w zerze wynosi zero.
I wszystko byloby okej, gdybys tylko wiedzial, ze gradient funkcji jest ciagly,a przede wsyzstkim,ze w ogole istnieje!
A moze przeciez tak nie byc.
Dlatego w tym wypadku najbardziej rozsadnym wyjsciem bedzie obliczenie pochodnych czastkowych w zerze z definicji.Sprobuj to sam zrobic.

Pochodna cząstkowa w punkcie (0,0) nie istnieje. Funkcja nie ma granicy w tym punkcie.

Tak nie istnieje.Mowiac funkcja masz na mysli funkcje, ktorej granice liczysz w definicji pochodnej czastkowej?

funkcję \(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}= \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}}\)
W sumie dla \(\displaystyle{ \pfrac{f}{y}}\) też nie będzie istniało, bo dla członu \(\displaystyle{ \frac{y}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}}\) nie ma granicy.

Ale popatrz, Ty uzywasz takiej implikacji:
\(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}}\) nie ma granicy w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), to \(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}(x_0)}\) nie istnieje
To nie jest prawda.Byloby prawda jezeli pochodna czastkowa mialaby byc ciagla w kazdym punkcie, w ktorym istnieje .Skad wniosek , ze zawsze tak musi byc?Przyklad:


Przyklad 2.3 ii)

Chwila, wiem na pewno, że funkcja \(\displaystyle{ \pfrac{f}{x}}\) :
- nie jest ciągła w punkcie (0,0). (wiem to patrząc na mianownik)

Czyli w sumie to mogłoby mi starczyć, tak? Funkcja jest nieciągła w punkcie --> nie ma w tym miejscu pochodnej.

Nie mozesz w ogole mowic o ciaglosci skoro nie wiesz, czy ta funkcja jest w zerze okreslona.
Poza tym myslisz chyba pojecia- wydaje mi sie, ze chcesz powiedziec ,ze skoro f nie jest ciagla w zerze (jest), to pochodna czastkowa nie istnieje.CO tak czy siak nie byloby prawda.
Co ma ciaglosc pochodnej czastkowej do jej istnienia?Nic.Wyslalem Ci przyklad, w ktorym pochodna czastkowa nie jest ciagla w zerze ,ale w tym zerze istnieje.

Funkcja jest nieciągła w punkcie --> nie ma w tym miejscu pochodnej.

Najpierw piszesz ,ze pochodna funkcji nie jest ciagla, a pozniej z tego wyciagasz wniosek, ze funkcja nie jest ciagla.Pomieszanie z poplataniem.
Ogolnie implikacja :

funkcja nie jest ciagla [w danym punkcie], zatem nie ma pochodnej [w danym punkcie]
Jest prawda, ale kiedy mowiac o pochodnej masz na mysli rozniczke, a nie pochodna czastkowa.