Matematyka.pl

Mam problem z tym:

Dla jakich wartosci paramtru k funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{k-2}{5}x^{5}-\frac{2(k+3)}{3}x^{3}+(k+1)x+k-1}\) nie ma ekstremow ?

Wiec ja licze z tego pochodna wzgledem x i wychodzi mi wielomian 4 stopnia, przyrownuje to do 0, sprawdzam przypadek dla k=2 ... podstawiam zmienna t za x^2 i wtedy licze kiedy delta jest mniejsza od 0 - wtedy pochodna nie bedzie miala ekstremow. Wiem ze trzeba jeszcze sprawdzic warunek dostateczny gdy bedzie spelniony konieczny ale nie bardzo wiem jak to zrobic...

Pozdrawiam, Aram

pochodna tego wyrazniea to
\(\displaystyle{ (k-2)x^{4}-3(\frac{2k}{3}+2)x^{2}+k+1}\)
rozkladajac to dalej mamy....


x =

\(\displaystyle{ \large\frac{1}{(k-2)\sqrt{(k-2)(k+3+\sqrt{7k+11})}}}\)
\(\displaystyle{ \large\frac{-1}{(k-2)\sqrt{(k-2)(k+3+\sqrt{7k+11})}}}\)
\(\displaystyle{ \large\frac{1}{(k-2)\sqrt{(k-2)(k+3-\sqrt{7k+11})}}}\)
\(\displaystyle{ \large\frac{-1}{(k-2)\sqrt{(k-2)(k+3-\sqrt{7k+11})}}}\)

wiec wypadalo zajac by sie wyrazeniem pod pierwiastkiem tak aby bylo ujemne

Pochodna jest funkcją dwukwadratową, czyli możemy zastosować podstawienie.
Aby funkcja dwukwadratowa nie miała miejsc zerowych to funkcja z podstawieniem musi spełniać warunki:
\(\displaystyle{ \{\Delta0\\t_{1}\cdot t_{2}>0\\t_{1}+t_{2}}\)

olazola pisze: Jeśli chodzi o dostateczny to wystarczy założyć, że \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

Hmm.. jakos narazie slabo to rozumiem. Dlaczego to wystarczy ?

Skoro \(\displaystyle{ \Delta=0}\), to dostajemy dwa takie same pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}=t_{2}=a}\), wracając do podstawienia \(\displaystyle{ x^2=a\ \vee x^2=a}\) stąd dostajemy dwa dwukrotne pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{a},\ -\sqrt{a}}\), oczywiśćie przy założeniu że a>0 czyli \(\displaystyle{ -\frac{b}{2a}>0}\), w sumie z tego wychodzi zbiór pusty, gdyż rozwiązanie z delty nie mieści się w wprzedziale gdzie ten jeden pierwiastek jest dodatni.