jak znaleźć ekstrema warunkowe funkcji \(\displaystyle{ u=xyz}\) przy warunku \(\displaystyle{ x+2y+3z=6}\)
wyszedł mi punkt krytyczny \(\displaystyle{ ( \frac{9}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}) , \alpha = \frac{27}{4}}\)
drugie pochodne się zeruja, nie wiem co dalej.
ekstrema warunkowe
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
ekstrema warunkowe
Agniezcka, spróbuj obciąć tę funkcję do prostej przechodzącej przez punkt stacjonarny. Jeśli nie istnieje ekstremum funkcji obciętej, nie istnieje też ekstremum warunkowe.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
ekstrema warunkowe
\(\displaystyle{ x=6-2y-3z\\\\
f(x(y,z),y,z)=6yz-2y^2z-3yz^2=g(y,z)\\\\
\begin{cases}g_y=6z-4yz-3z^2=0\\g_z=6y-2y^2-6yz=0\end{cases}\\\\
\begin{cases}z(6-4y-3z)=0\\y(6-2y-6z)=0\end{cases}\\\\
z\ne 0,y\ne 0\\\\
\begin{cases}6-4y-3z=0\\6-2y-6z=0\end{cases}\\\\
\begin{cases}x=2\\y=1\\z=\frac{2}{3}\end{cases}\\\\
H(y,z)=\begin{bmatrix}g_{yy}&g_{yz}\\g_{zy}&g_{zz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4z&6-4y-6z\\6-4y-6z&-6y\end{bmatrix}\\\\
\det H\left( 1,\frac{2}{3}\right)=\det\begin{bmatrix}-\frac{8}{3}&-2\\-2&-6\end{bmatrix}=12>0\\\\
g_{yy}\left( 1,\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}<0\\\\
\text{maksimum warunkowe w }\left( 2,1,\frac{2}{3}\right)}\)
f(x(y,z),y,z)=6yz-2y^2z-3yz^2=g(y,z)\\\\
\begin{cases}g_y=6z-4yz-3z^2=0\\g_z=6y-2y^2-6yz=0\end{cases}\\\\
\begin{cases}z(6-4y-3z)=0\\y(6-2y-6z)=0\end{cases}\\\\
z\ne 0,y\ne 0\\\\
\begin{cases}6-4y-3z=0\\6-2y-6z=0\end{cases}\\\\
\begin{cases}x=2\\y=1\\z=\frac{2}{3}\end{cases}\\\\
H(y,z)=\begin{bmatrix}g_{yy}&g_{yz}\\g_{zy}&g_{zz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4z&6-4y-6z\\6-4y-6z&-6y\end{bmatrix}\\\\
\det H\left( 1,\frac{2}{3}\right)=\det\begin{bmatrix}-\frac{8}{3}&-2\\-2&-6\end{bmatrix}=12>0\\\\
g_{yy}\left( 1,\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}<0\\\\
\text{maksimum warunkowe w }\left( 2,1,\frac{2}{3}\right)}\)