Matematyka.pl

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:

\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y)ln(x+y)+ \frac{ x^{2} }{2} -x}\)

Z góry dziękuję za szybkie rozwiązanie

Sposób rozwiązania

Policz pochodną po x i po y

Przyrównaj pochodne do 0 według:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_x = 0 \\ f_y = 0 \end{cases}}\)

Z tego układu równań policzysz puntky stacjonarne, w których mogą być ekstrema.

Policz drugie pochodne i dla każdego punktu stacjonarnego oblicz ich wartości a następnioe ułóż hesjan:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}f_{xx}(P_n)&f_{xy}(P_n)\\f_{yx}(P_n)&f_{yy}(P_n)\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ P_n \ \ n = 1,2,...,n}\) n liczba punktów stacjonarnych

Gdy w wyznacznik hesjanu jest > 0 tzn ze jest ekstremum. Gdy \(\displaystyle{ f_{xx}(P_n)>0}\) to minimum a gdy \(\displaystyle{ f_{xx}(P_n)}\)

Chyba się nigdzie nie walnąłem

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} =ln(x+y)+x* \frac{1}{x+y} +y* \frac{1}{x+y} +x-1=ln(x+y)+x}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=1+ln(x+y)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} ln(x+y)+x=0\\ln(x+y)+1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=1\ \ y=e^{-1}-1}\)

\(\displaystyle{ P=(1, e^{-1}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{1}{x+y} +1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{1}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x y}= \frac{1}{x+y}}\)

Wyznacznik hesjanu w podejrzanym pkt.:
\(\displaystyle{ det \ ft|\begin{array}{cc} \frac{1}{e^{-1}}+1 & \frac{1}{e^{-1}} \\ \frac{1}{e^{-1}}& \frac{1}{e^{-1}} \end{array}\right|}\)

Od razu widać, że jest większy od 0, zatem istnieje ekstremum. \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{-1}}+1}\) jest dodatnie, zatem jest to minimum.

\(\displaystyle{ y=e^{-1}-1}\)

Jka został wyznaczony ten punkt? Można prosić o wytłumaczenie?
Czy zadanie jest rozwiązane prawidłowo (dobrze policzone pochodne)?

Rozwiązałem układ równań, z którego wyszło x=1, zatem:
\(\displaystyle{ ln(1+y)+1=0}\)
\(\displaystyle{ ln(1+y)=-1}\)
\(\displaystyle{ e^{-1}=1+y}\)
\(\displaystyle{ y=e^{-1}-1}\)