Matematyka.pl

\(\displaystyle{
f(x,y) = 24xy - 2x^2y - 4xy^2
}\)

Najpierw liczę pochodne cząstkowe
\(\displaystyle{
f'_x (x,y) = 24y - 4xy - 4y^2 = 4(6y - xy - y^2)
}\)
\(\displaystyle{
f'_y (x,y) = 24x - 2x^2 - 8xy = 2(12x - x^2 - 4xy)
}\)

Liczę punkty stacjonarne
\(\displaystyle{
\begin{cases} 6y - xy - y^2 = 0 \\ 12x - x^2 - 4xy = 0 \end{cases}
}\)

Nie za bardzo wiem jak do tego podejść. Nasunie ktoś pomysł?

Wylicz \(\displaystyle{ xy}\) z pierwszego, podstaw do drugiego, pozwijaj do kwadratów.

JK

Podstawiłem xy, wychodzi
\(\displaystyle{
\begin{cases} xy = 6y - y^2 \\ 12x - x^2 - 4(6y - y^2) = 0 \end{cases}
}\)

Co znaczy pozwijać do kwadratów?

essabyczku pisze: ↑24 cze 2022, o 19:13 Co znaczy pozwijać do kwadratów?

\(12x - x^2 - 4(6y - y^2) = 4y^2-24y+36-x^2+12x-36=(2y-6)^2-(x-6)^2\)

Pozdrawiam

Pozwijać do kwadratów to znaczy uzupełnić do kwadratu sumy lub różnicy (w tym przypadku dwumianu) w oparciu o wzory skróconego mnożenia.

Wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ y }\) z pierwszego równania, \(\displaystyle{ x }\) z równania drugiego,

\(\displaystyle{ \begin{cases} y\cdot( 6-x -y) = 0 \\ x \cdot ( 12 -x -4y) = 0. \end{cases} }\)

Rozpisujemy układ równań na cztery układy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 0 \\ x = 0, \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = 0 \\ x \cdot ( 12 -x - 4y) = 0, \end{cases} \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6-x- y = 0 \\ x = 0, \end{cases} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6-x- y = 0 \\12 - x -4y = 0 \end{cases} \ \ (3) }\)

Rozwiązujemy każdy z układów \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) osobno.

Dzięki, rozumiem już.