Matematyka.pl

Walczę z następującym zadaniem:
Pokaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 2^x < 1+x}\)

Moim pomysłem jest zdefiniowanie funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1+x-2^x}\)

\(\displaystyle{ f(0)=f(1)=0}\) , \(\displaystyle{ f'(x)=1-2^x\ln2}\) , \(\displaystyle{ f'(0)=1-\ln2>0}\)

Czy powiedzenie, że funkcja w \(\displaystyle{ 0}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), pochodna w \(\displaystyle{ 0}\) jest dodatnia oraz zeruje się tylko raz w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) wystarczy?

Nie wiem czy w ogóle moje podejście jest dobre, zapewne jest jakieś optymalniejsze. Proszę o pomoc.

Spróbuj nierówności Bernoulliego

Dodano po 12 godzinach 4 sekundach:
Tak, Twoje tozumowanie jest wystarczające.

Alternatywą może być takie coś: lewa strona jest funkcją ściśle wypukłą, a prawa wyznacza prostą, która ją przecina w dwóch punktach `x=0` i `x=1`. Stąd żądana nierówność.