Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Cześć,
mam takie zadanie: Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln (1+x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x > -1}\).
Mógłbym sobie to bez problemu i dość dokładnie narysować, ale muszę to rozwiązać korzystając z rachunku różniczkowego. Nie mam jednak za bardzo pomysłu jak tutaj wykorzystać pochodne. Różniczkowanie stronami to trochę śliska sprawa, bo patrząc na przykład równania: \(\displaystyle{ 2x=2}\) to licząc pochodną z każdej strony dostanę sprzeczność. Jak więc należy zrobić to poprawnie?
Proszę o wskazówki i pozdrawiam
mam takie zadanie: Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln (1+x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x > -1}\).
Mógłbym sobie to bez problemu i dość dokładnie narysować, ale muszę to rozwiązać korzystając z rachunku różniczkowego. Nie mam jednak za bardzo pomysłu jak tutaj wykorzystać pochodne. Różniczkowanie stronami to trochę śliska sprawa, bo patrząc na przykład równania: \(\displaystyle{ 2x=2}\) to licząc pochodną z każdej strony dostanę sprzeczność. Jak więc należy zrobić to poprawnie?
Proszę o wskazówki i pozdrawiam
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
wszystko na jedną stronę dajesz i liczysz pochodną
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
I tak też robiłem. No i po kilku rachunkach mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{-x}{(x+1)^2} \le 0}\), ale to jest prawda tylko dla iksów dodatnich. Dla ujemnych licznik robi się dodatni, a dół zawsze jest dodatni, a razem nie daje to liczby ujemnej.
\(\displaystyle{ \frac{-x}{(x+1)^2} \le 0}\), ale to jest prawda tylko dla iksów dodatnich. Dla ujemnych licznik robi się dodatni, a dół zawsze jest dodatni, a razem nie daje to liczby ujemnej.
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Ale chwila chwila. Nierówność dla pochodnych nie implikuje nierówności dla pierwotnego zagadnienia.
Więc teraz bzdurę robisz. Pomyśl jak inaczej możesz, korzystając z rachunku różniczkowego, pokazać, że
\(\displaystyle{ f(x) \le 0}\)
wiedząc kilka rzeczy o pochodnej \(\displaystyle{ f}\). Właśnie, jakich rzeczy?
Więc teraz bzdurę robisz. Pomyśl jak inaczej możesz, korzystając z rachunku różniczkowego, pokazać, że
\(\displaystyle{ f(x) \le 0}\)
wiedząc kilka rzeczy o pochodnej \(\displaystyle{ f}\). Właśnie, jakich rzeczy?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Wiem na pewno, że mogę znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema. Wykonując badanie przebiegu zmienności funkcji mogę się dowiedzieć kilku istotnych rzeczy, ale żeby wprost pokazać, że funkcja przyjmuje wartości ujemne? Nie wiem czy chodzi Tobie o coś poza klasycznym badaniem przebiegu zmienności funkcji.
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Wystarczy klasyczny przebieg zmienności, zgadza się
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Pochodna policzona i jest w poście wyżej. Widzimy w zerze ekstremum (maksimum), a w -1 asymptotę pionową zarówno pochodnej jak i funkcji pierwotnej. Tutaj trzeba szukać?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
No to skoro w zerze jest maksimum, pochodna jest dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i ujemna w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), to musi to być maksimum globalne. A w zerze Twoja funkcja przyjmuje wartość zero.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
Czyli w \(\displaystyle{ -1}\) mam asymptotę pionową i funkcja dąży tam do minus nieskończoności (przy\(\displaystyle{ -1^+)}\), a skoro w zerze mam wartość funkcji zero (a wg pochodnej funkcja jest rosnąca dla iksów ujemnych) to znaczy, że ona rośnie jednocześnie mając wartości ujemne. Czy to kończy zadanie?
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Dowód nierówności korzystając z rachunku pochodnych.
No tak, funkcja maleje, a skoro w zerze było maksimum to funkcja na prawo od zera musi przyjmować znowu wartości ujemne.
Dziękuję Wam za pomoc i pozdrawiam
Dziękuję Wam za pomoc i pozdrawiam