Matematyka.pl

Cześć,
mam takie zadanie: Załóżmy, że funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ f(x)}\) ma na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) \(\displaystyle{ n}\) miejsc zerowych. Udowodnić, że pochodna \(\displaystyle{ f'(x)}\) ma na tym przedziale \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych.
O ile dla wielomianów jest to dla mnie oczywiste to nie mam za bardzo pomysłu na podejście do tego w sposób ogólny. Proszę uprzejmie o wskazówki i pozdrawiam

Zastosuj twierdzenie Rolle'a. Dostaniemy wniosek, że pochodna ma co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych. Z tym, że dokładnie - będzie biednie. Obawiam się, że takiej tezy nie dostaniemy z tak ogólnym założeniem.

Np. \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) ma w \(\displaystyle{ [-1,1]}\) jedno miejsce zerowe. A pochodna też ma miejsce zerowe, jednak tu jest \(\displaystyle{ n=1}\), a \(\displaystyle{ n-1=0}\).

Albo lepiej: \(\displaystyle{ f(x)=x^3-4x}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ [-1.9,2.1]}\) dwa miejsca zerowe, a pochodna ma w tym przedziale też dwa miejsca zerowe. Więc ewidentnie teza brzmi no najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych pochodnej.

Generalnie chodzi o to, że między dwoma miejscami zerowymi funkcji jest co najmniej jedno miejsce zerowe pochodnej. Miejsca zerowe pochodnej przeplatają się z miejscami zerowymi funkcji. To jest ważne np. w teorii wielomianów ortogonalnych.

Dzięki Twojemu przykładowi rozumiem teraz ideę i to, dlaczego jest polecenie niefortunnie skonstruowane

Generalnie chodzi o to, że między dwoma miejscami zerowymi funkcji jest co najmniej jedno miejsce zerowe pochodnej. Miejsca zerowe pochodnej przeplatają się z miejscami zerowymi funkcji. To jest ważne np. w teorii wielomianów ortogonalnych.

Ten fakt również znam, kiedyś w liceum rysowałem sobie dużo funkcji i ich pochodnych na komputerze i rzeczywiście tak się działo
Chciałbym jednak dopytać o tw. Rolle'a - z tego, co czytam to jest to twierdzenie o punkcie stacjonarnym w przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) funkcji. Jak to jednak odnieść do wniosku, że mam co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych?

Ojej... zastosuj je do kolejnych miejsc zerowych w iluś podprzedziałach. POtem dostaniesz, że \(\displaystyle{ f''}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ n-2}\) miejsca zerowe itp., o ile będą spełnione założenia rózniczkowalności odpowiednią liczbę razy.

Patrzę... no i napradwę nie wiem jak to zastosować. Ja tu widzę tylko punkt stacjonarny, a nie miejsca zerowe.

A jaka jest różnica między punktem stacjonarnym a miejscem zerowym pochodnej?

O ile wiem to punkt stacjonarny to taki, w którym wartość pochodnej jest równa zero... aa, ja ciągle się sugerowałem rysunkiem ze styczną równoległą do osi OX. No dobra, czyli pomiędzy a i b mam co najmniej jedno miejsce zerowe. Jak teraz wyciągnąć prawidłowy wniosek (chodzi mi o tezę)?

Przeciez styczna równoległą do osi i zero pochodnej to to samo.

Przeczytaj uważnie post szw1710 - tam znajdziesz wskazówkę do dowodu