Matematyka.pl

Masz daną zależność położenia ciała od czasu \(\displaystyle{ x(t)=t^4-3t}\). Jak chcesz obliczyć prędkość nie używając pochodnych?

\(\displaystyle{ x(t+1) - x(t) = (t+1)^4 - 3(t+1) - \left( t^4-3t\right) = 4t^3 + 6t^2+4t-2}\)
O tyle kilometrów położenie punktu x zmienia się w ciągu minuty, zatem średnia prędkość to właśnie tyle.

Średnia. A chwilowa?

Nawet z użyciem pochodnych nie wiem, jak można to zrobić.

To ja chyba nie rozumiem w czym problem. Powiedziałeś, że nie widzisz sensu wprowadzania pochodnej. To ja Ci ten sens podałem - prędkość to z definicji pochodna położenia po czasie. Przyspieszenie to z definicji pochodna prędkości po czasie. Nie obliczysz prędkości chwilowej bez użycia pochodnych. Nie da się, z samej jej definicji.

A samo obliczenie, korzystając z ogólnodostępnych wzorów:

\(\displaystyle{ v(t)=x'(t)=4t^3-3}\)

I tak, np. w trzeciej sekundzie ruchu (\(\displaystyle{ t=3}\)) kiedy ciało było na \(\displaystyle{ 72}\) metrze (bo \(\displaystyle{ x(3)=72}\)) miało prędkość \(\displaystyle{ v(3)=105m/s}\).


EDIT: Już po napisaniu zrozumiałem o co chodziło w całym tym temacie, a4karo próbował umotywować Ci dlaczego prędkość jest zdefiniowana jako pochodna.

W tej chwili mam kolejną intuicję tego czym jest pochodna. Moim celem jest zrozumienie jak definicja pochodnej ma się do tych intuicji. Skąd ona się wzięła. Chciałbym rozumieć pojęcie pochodnej na tyle dobrze, żebym mógł jej swobodnie używać nawet w zadaniach, gdzie typowo się jej nie używa i umieć się z tego wybronić.

Samouk1 pisze: ↑27 gru 2022, o 20:59 Skąd ona się wzięła.

No dobrze Obliczyłeś przed chwilą prędkość średnią w odstępie czasu \(\displaystyle{ \Delta t=1}\). Żeby mówić o prędkości chwilowej to jednak za duży odstęp, trzeba wziąć mniejszy. Im mniejszy tym lepszy. Widzisz gdzieś tam w tle dokładnie to samo co występuje w definicji pochodnej?

Widzę licznik pochodnej.

A mianownik? Licząc prędkość średnią masz:

\(\displaystyle{ \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}\)

Taak, to ma sens! (Lubię ten moment)

Tylko musimy uogólnić pojęcie średniej na liczby rzeczywiste. Za tym stoi jakaś taka niewypowiedziana nigdy intuicja, czy rzeczywiście się tą średnią uogólnia? Czy może w ogóle historycznie, to całkowicie z innej strony wzięto?
Musisz mi wybaczyć, ale interpretacja fizyczna, to dla mnie dodatkowa trudność - z fizyką miałem związek ostatnio jakieś \(\displaystyle{ 10}\) lat temu.

\(\displaystyle{ 10 }\) letnia przerwa w nauce fizyki nie przeszkadza, aby zrozumieć na przykład wartość średnią prędkości.

Samochód jechał po dwupasmowej drodze ekspresowej z prędkością poniżej \(\displaystyle{ 120 \frac{km}{godz} }\) i nie został zatrzymany przez patrol policyjny o godzinie \(\displaystyle{ 12.00.}\)

O godzinie \(\displaystyle{ 12.20 }\) ten sam samochód, pruszając się tą samą drogą \(\displaystyle{ 45 km }\) dalej, został zatrzymany przez drugi patrol policyjny przy tej samej prędkości.

Kierowca otzymał mandat. Czy słusznie ?

Na jakiej podstawie policjanci mogli wiedzieć, że kierowca przekroczył dopuszczalną prędkość?

Samouk1 pisze: ↑27 gru 2022, o 21:27 Tylko musimy uogólnić pojęcie średniej na liczby rzeczywiste.

Rozwiń bo nie do końca rozumiem o co chodzi. Cały czas operujemy na liczbach rzeczywistych, nie trzeba nic uogólniać.

AiDi pisze: ↑28 gru 2022, o 08:24 Cały czas operujemy na liczbach rzeczywistych, nie trzeba nic uogólniać.

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez liczbę tych liczb. Dzielnik tutaj jest (siłą rzeczy) naturalny. A chcemy, żeby był rzeczywisty, bo będzie dążył do zera.

Samouk1 pisze: ↑28 gru 2022, o 11:45 Średnia arytmetyczna

Ale prędkość średnia to nie jest średnia arytmetyczna. To zmiana położenia, podzielona przez czas w którym ta zmiana nastąpiła.