Matematyka.pl

Czy istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \RR}\) dla której:
\(\displaystyle{ 1) f(1)=f(-1)=1 \\\
2) f(0)=0 \\
3) |f'(x)| \le 1}\)
Pierwsze skojarzenie \(\displaystyle{ |x|}\), ale nie jest różniczkowalny w zerze.. Przy innych próbach tez coś nie gra, ale myślę ze istnieje, tylko coś pomijam.. Jakieś pomysły?

Wystarczy znaleźć funkcję \(\displaystyle{ g\colon[0,1]\to[0,1]}\), która spełnia:
1) \(\displaystyle{ g(1)=g'(1)=1}\)
2) \(\displaystyle{ g(0)=g'(0)=0}\)
3) \(\displaystyle{ |g'(x)|\leqslant 1}\)

Wówczas funkcja

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}g(x),& x\in[0,1] \\g(-x),& x\in[-1,0] \\ |x|,& x\not\in[-1,1]\end{cases}}\)

jest różniczkowalna i spełnia założenia. Załóżmy, że \(\displaystyle{ g(1)=1}\), \(\displaystyle{ g(0)=0}\). Ale

\(\displaystyle{ 1=g(1)-g(0)=\int_0^1 g'(x)\mbox{d}x\leqslant\int_0^1 |g'(x)|\mbox{d}x\leqslant\int_0^1 1\mbox{d}x =1}\)

Jakie są wnioski?

Funkcja różniczkowalna musi mieć ciągłą pochodną. Możesz narysować sobie wykres pochodnej. W żadnym punkcie jej wartość bezwzględna nie może być większa niż 1. Całka oznaczona pochodnej musiałaby być równa -1 po lewej stronie oraz równa 1 po prawej stronie. Można spróbować osiągnąć taki stan, dobierając pochodną stale równą -1 po lewej stronie oraz stale równą 1 po prawej stronie. Wtedy istotnie całki oznaczone miałyby tę wartość. Jednakże uniemożliwiłoby to, aby pochodna byłą ciągła. Otrzymaliśmy sprzeczność.

Zauważ, że funkcja nie może przyjąć wartości 0 w żadnym innym punkcie, niż \(\displaystyle{ x=0}\), bo wtedy w pewnym miejscu wartość bezwzględna pochodnej musiałaby być większa niż 1.

Chromosom pisze:Funkcja różniczkowalna musi mieć ciągłą pochodną.

Niby dlaczego?

Edit: Głupie pytanie, cofam Oczywiste.

Zastanawiam się, czy nie powiedziałem tego zbyt pochopnie. Tutaj mamy ciekawy przykład:

Jednakże nie wydaje się to zmieniać faktu, że nie jest możliwe, aby istniała funkcja różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\) spełniająca te warunki.

Chromosom pisze:Zastanawiam się, czy nie powiedziałem tego zbyt pochopnie. Tutaj mamy ciekawy przykład:

Nie, tutaj z tw. Lagrange'a mamy nawet Lipschitzowość:
\(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| = |f'(c)| \cdot |x-y| \leq |x-y|}\)

-- 16 lut 2014, o 19:03 --

Nie, dobra. Przez chwilę myślałem, że Lipschitzowość gwarantuje, że pochodna jest ciągła, ale zdałem sobie sprawę, że tak jednak być nie musi.

Spełnienie warunku Lipschitza nie zagwarantuje nawet różniczkowalności

Podana przeze mnie propozycja wydaje się być poprawnym szkicem (bo rozwiązanie to nie jest). Sądzę jednak, że gdybyśmy chcieli uniknąć stosowania całek, warunek Lipschitza będzie tutaj przydatny. Zapewne powrócę do tego zadania w najbliższym czasie.

Chromosom pisze:Spełnienie warunku Lipschitza nie zagwarantuje nawet różniczkowalności

Tak, to prawda, ale myślałem, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest Lipschitza i różniczkowalna, to pochodna jest ciągła, ale tak być nie musi oczywiście.

Co do samego zadania, jestem przekonany, że taka funkcja nie istnieje - po prostu widać, że nie może taka istnieć, bo musiałaby w taki nienaturalny sposób schodzić do zera.

bartek118 pisze:Co do samego zadania, jestem przekonany, że taka funkcja nie istnieje - po prostu widać, że nie może taka istnieć, bo musiałaby w taki nienaturalny sposób schodzić do zera.

Również podoba mi się takie uzasadnienie, bardziej na intuicję - chociaż trzeba je przekształcić na język matematyczny. Nie można schodzić do 0 szybciej niż 1, ponieważ wtedy nie spełnimy warunku nt. pochodnej wymaganego w zadaniu. Jeśli w którymś miejscu będziemy schodzić wolniej niż 1, na pewno nie osiągniemy 0. Zatem musimy schodzić z obu stron po prostej, a stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\), która nie jest różniczkowalna.

Co do samego zadania, jestem przekonany, że taka funkcja nie istnieje - po prostu widać, że nie może taka istnieć, bo musiałaby w taki nienaturalny sposób schodzić do zera.

Zatrzymam się przy całkach jeszcze na moment. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest ciągła w zerze, wówczas w przedziale \(\displaystyle{ x\in(-\delta,\delta)}\) mamy \(\displaystyle{ |f'(x)|<\varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon\in(0,1)}\). Ale

\(\displaystyle{ 2\delta=\int_{-\delta}^{\delta}f'(x)\mbox{d}x\leqslant \int_{-\delta}^{\delta}|f'(x)|\mbox{d}x\leqslant\int_{-\delta}^{\delta}\varepsilon\mbox{d}x=\varepsilon \cdot 2\delta}\)

Sprzeczność.

Nie musimy rozpatrywać nawet tego przypadku. Ustaliliśmy już, że \(\displaystyle{ f(0)=f'(0)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x)={\rm sgn}(x)}\) prawie wszędzie. Ponieważ

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0}\)

to \(\displaystyle{ |x|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon|x|\leqslant\varepsilon\delta}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) i dobranej \(\displaystyle{ \delta}\). Stąd

\(\displaystyle{ \delta = \int_0^{\delta}{\rm sgn}(x)\mbox{d}x=\int_0^{\delta}f'(x)\mbox{d}x=f(\delta)<\delta\varepsilon}\)

Można również się powołać na fakt, że pochodna może być nieciągła, ale nie może mieć skoków.

JakimPL pisze:Załóżmy, że \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest ciągła w zerze,

A jak nie jest?

JakimPL pisze:Ustaliliśmy już, że \(\displaystyle{ f(0)=f'(0)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x)={\rm sgn}(x)}\) prawie wszędzie.

Dlaczego?

Co do pierwszego:

Nie musimy rozpatrywać nawet tego przypadku.

Dalej odwołałem się do rozumowania Chromosoma i uznałem to za punkt startowy.

Chromosom,
Nie znam dowodu ale słyszałem na wykładzie z równań różniczkowych, że funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest różniczkowalna prawie wszędzie.

Proponuję wrócić do zadania.

Gdyby taka funkcja istniała, musiałaby zachodzić równość \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\) dla \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\). Załóżmy bowiem, że istnieje \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x)\ne |x|}\). Teraz są różne przypadki, a w każdym z nich zastosowanie twierdzenia Lagrange'a daje sprzeczność. Na przykład, gdy \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ f(x)>x}\), to istnieje \(\displaystyle{ \xi\in(0,x)}\) takie, że \(\displaystyle{ f'(\xi)=\frac{f(x)}x>1}\).